如图，在矩形ABCD中，AB3，BC4．动点P从点A出发沿A-优题课

如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P、Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连接PQ，设运动时间为t（t >0）秒．

（1）求线段AC的长度；
（2）当点Q从点B向点A运动时（未到达A点），求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）伴随着P、Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l：
①当l经过点A时，射线QP交AD于点E，求AE的长；
②当l经过点B时，求t的值．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：相似多边形的性质

央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注我市某校就“中华文化我传承 $- -$ 地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查．对收集的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图所提供的信息解答下列问题：

图中 $A$ 表示“很喜欢”， $B$ 表示“喜欢”、 $C$ 表示“一般”， $D$ 表示“不喜欢”．

（1）被调查的总人数是　　人，扇形统计图中 $C$ 部分所对应的扇形圆心角的度数为　　；

（2）补全条形统计图；

（3）若该校共有学生1800人，请根据上述调查结果，估计该校学生中 $A$ 类有　　人；

（4）在抽取的 $A$ 类5人中，刚好有3个女生2个男生，从中随机抽取两个同学担任两角色，用树形图或列表法求出被抽到的两个学生性别相同的概率．

为了解某校九年级男生1000米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为 $D$ 、 $C$ 、 $B$ 、 $A$ 四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：

（1） $a =$ 　　， $b =$ 　　， $c =$ 　　；

（2）扇形统计图中表示 $C$ 等次的扇形所对的圆心角的度数为　　度；

（3）学校决定从 $A$ 等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生1000米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 3$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 3, 0)$ 、 $B (1, 0)$ ，交 $y$ 轴于点 $N$ ，点 $M$ 为抛物线的顶点，对称轴与 $x$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，连接 $AM$ ，点 $E$ 是线段 $AM$ 上方抛物线上一动点， $EF ⊥ AM$ 于点 $F$ ，过点 $E$ 作 $EH ⊥ x$ 轴于点 $H$ ，交 $AM$ 于点 $D$ ．点 $P$ 是 $y$ 轴上一动点，当 $EF$ 取最大值时：

①求 $PD + PC$ 的最小值；

②如图2， $Q$ 点为 $y$ 轴上一动点，请直接写出 $DQ + \frac{1}{4} OQ$ 的最小值．

如图， $⊙ O$ 是 $ΔABC$ 的外接圆， $AB$ 为直径，点 $P$ 为 $⊙ O$ 外一点，且 $PA = PC = \sqrt{2} AB$ ，连接 $PO$ 交 $AC$ 于点 $D$ ，延长 $PO$ 交 $⊙ O$ 于点 $F$ ．

（1）证明： $\hat{AF} = \hat{CF}$ ；

（2）若 $\tan ∠ ABC = 2 \sqrt{2}$ ，证明： $PA$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（3）在（2）条件下，连接 $PB$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，连接 $DE$ ，若 $BC = 2$ ，求 $DE$ 的长．

我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式 $| x - 2 |$ 的几何意义是数轴上 $x$ 所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为 $| x + 1 | = | x - (- 1) |$ ，所以 $| x + 1 |$ 的几何意义就是数轴上 $x$ 所对应的点与 $- 1$ 所对应的点之间的距离．

（1）发现问题：代数式 $| x + 1 | + | x - 2 |$ 的最小值是多少？

（2）探究问题：如图，点 $A$ 、 $B$ 、 $P$ 分别表示数 $- 1$ 、2、 $x$ ， $AB = 3$ ．

$∵ | x + 1 | + | x - 2 |$ 的几何意义是线段 $PA$ 与 $PB$ 的长度之和，

$∴$ 当点 $P$ 在线段 $AB$ 上时， $PA + PB = 3$ ，当点 $P$ 在点 $A$ 的左侧或点 $B$ 的右侧时， $PA + PB > 3$ ．

$∴ | x + 1 | + | x - 2 |$ 的最小值是3．

（3）解决问题：

① $| x - 4 | + | x + 2 |$ 的最小值是　　；

②利用上述思想方法解不等式： $| x + 3 | + | x - 1 | > 4$ ；

③当 $a$ 为何值时，代数式 $| x + a | + | x - 3 |$ 的最小值是2．