某汽车销售公司10月份销售某厂家的汽车．在一定范围内，每部汽-优题课

某汽车销售公司10月份销售某厂家的汽车．在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为30万元；每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.2万元/部．
（1）若该公司当月售出2部汽车，则每部汽车的进价为万元；
（2）如果汽车的售价为31万元/部．
①写出公司当月盈利y（万元）与汽车销售量x（部）之间的函数关系式；
②若该公司当月盈利28万元，求售出汽车的数量．

科目数学题型解答题难度较易

知识点：二次函数在给定区间上的最值

如图，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $BC$ ， $CD$ 上，且 $BE = CF$ ，求证： $ΔABE ≅ ΔBCF$ ．

某同学化简 $a (a + 2 b) - (a + b) (a - b)$ 出现了错误，解答过程如下：

原式 $= a^{2} + 2 ab - (a^{2} - b^{2})$ （第一步）

$= a^{2} + 2 ab - a^{2} - b^{2}$ （第二步）

$= 2 ab - b^{2}$ （第三步）

（1）该同学解答过程从第　　步开始出错，错误原因是　　；

（2）写出此题正确的解答过程．

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $ABCD$ 的对称中心为坐标原点 $O$ ， $AD ⊥ y$ 轴于点 $E$ （点 $A$ 在点 $D$ 的左侧），经过 $E$ 、 $D$ 两点的函数 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + mx + 1 (x ⩾ 0)$ 的图象记为 $G_{1}$ ，函数 $y = - \frac{1}{2} x^{2} - mx - 1 (x < 0)$ 的图象记为 $G_{2}$ ，其中 $m$ 是常数，图象 $G_{1}$ 、 $G_{2}$ 合起来得到的图象记为 $G$ ．设矩形 $ABCD$ 的周长为 $L$ ．

（1）当点 $A$ 的横坐标为 $- 1$ 时，求 $m$ 的值；

（2）求 $L$ 与 $m$ 之间的函数关系式；

（3）当 $G_{2}$ 与矩形 $ABCD$ 恰好有两个公共点时，求 $L$ 的值；

（4）设 $G$ 在 $- 4 ⩽ x ⩽ 2$ 上最高点的纵坐标为 $y_{0}$ ，当 $\frac{3}{2} ⩽ y_{0} ⩽ 9$ 时，直接写出 $L$ 的取值范围．

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， $AB = 4$ ，动点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $AB$ 以每秒2个单位长度的速度向终点 $B$ 运动．过点 $P$ 作 $PD ⊥ AC$ 于点 $D$ （点 $P$ 不与点 $A$ 、 $B$ 重合），作 $∠ DPQ = 60 °$ ，边 $PQ$ 交射线 $DC$ 于点 $Q$ ．设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒．

（1）用含 $t$ 的代数式表示线段 $DC$ 的长；

（2）当点 $Q$ 与点 $C$ 重合时，求 $t$ 的值；

（3）设 $ΔPDQ$ 与 $ΔABC$ 重叠部分图形的面积为 $S$ ，求 $S$ 与 $t$ 之间的函数关系式；

（4）当线段 $PQ$ 的垂直平分线经过 $ΔABC$ 一边中点时，直接写出 $t$ 的值．

在正方形 $ABCD$ 中， $E$ 是边 $CD$ 上一点（点 $E$ 不与点 $C$ 、 $D$ 重合），连结 $BE$ ．

【感知】如图①，过点 $A$ 作 $AF ⊥ BE$ 交 $BC$ 于点 $F$ ．易证 $ΔABF ≅ ΔBCE$ ．（不需要证明）

【探究】如图②，取 $BE$ 的中点 $M$ ，过点 $M$ 作 $FG ⊥ BE$ 交 $BC$ 于点 $F$ ，交 $AD$ 于点 $G$ ．

（1）求证： $BE = FG$ ．

（2）连结 $CM$ ，若 $CM = 1$ ，则 $FG$ 的长为　　．

【应用】如图③，取 $BE$ 的中点 $M$ ，连结 $CM$ ．过点 $C$ 作 $CG ⊥ BE$ 交 $AD$ 于点 $G$ ，连结 $EG$ 、 $MG$ ．若 $CM = 3$ ，则四边形 $GMCE$ 的面积为　　．