知识背景：同学们已经学过有理数的大小比较，那么两个代数式如何-优题课

知识背景：同学们已经学过有理数的大小比较，那么两个代数式如何比较大小呢？我们通常用作差法比较代数式大小。例如：已知M=2x+3,N=2x+1，比较M和N的大小。先求M－N，若M－N>0，则M>N；若M－N<0，则M<N；若M－N=0，则M=N，本题中因为M－N=2>0，所以M>N。
知识应用：图⑴是边长为a的正方形，将正方形一边不变，另一边增加4，得到如图⑵所示的新长方形，此长方形的面积为；将图（1）中正方形边长增加2得到如图⑶所示的新正方形，此正方形的面积为

①用含a的代数式表示，（需要化简）
②请你用作差法比较与大小

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆内接四边形的性质

如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象与正比例函数 $y = 2 x$ 的图象相交于 $A (1, a)$ ， $B$ 两点，点 $C$ 在第四象限， $CA / / y$ 轴， $∠ ABC = 90 °$ ．

（1）求 $k$ 的值及点 $B$ 的坐标；

（2）求 $\tan C$ 的值．

今年某市为创评“全国文明城市”称号，周末团市委组织志愿者进行宣传活动．班主任梁老师决定从4名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签方式确定2名女生去参加．抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名．

（1）该班男生“小刚被抽中”是　　事件，“小悦被抽中”是　　事件（填“不可能”或“必然”或“随机” $)$ ；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为　　；

（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠被抽中”的概率．

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = 8$ ， $BC = 4$ ， $CA = 6$ ， $CD / / AB$ ， $BD$ 是 $∠ ABC$ 的平分线， $BD$ 交 $AC$ 于点 $E$ ，求 $AE$ 的长．

如图，已知 $P$ 为锐角 $∠ MAN$ 内部一点，过点 $P$ 作 $PB ⊥ AM$ 于点 $B$ ， $PC ⊥ AN$ 于点 $C$ ，以 $PB$ 为直径作 $⊙ O$ ，交直线 $CP$ 于点 $D$ ，连接 $AP$ ， $BD$ ， $AP$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $∠ BPD = ∠ BAC$ ．

（2）连接 $EB$ ， $ED$ ，当 $\tan ∠ MAN = 2$ ， $AB = 2 \sqrt{5}$ 时，在点 $P$ 的整个运动过程中．

①若 $∠ BDE = 45 °$ ，求 $PD$ 的长．

②若 $ΔBED$ 为等腰三角形，求所有满足条件的 $BD$ 的长．

（3）连接 $OC$ ， $EC$ ， $OC$ 交 $AP$ 于点 $F$ ，当 $\tan ∠ MAN = 1$ ， $OC / / BE$ 时，记 $ΔOFP$ 的面积为 $S_{1}$ ， $ΔCFE$ 的面积为 $S_{2}$ ，请写出 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值．

温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元．设每天安排 $x$ 人生产乙产品．

（1）根据信息填表：

产品种类	每天工人数（人 $)$	每天产量（件 $)$	每件产品可获利润（元 $)$
甲			15
乙	$x$	$x$

（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润．

（3）该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一件产品），丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润 $W$ （元 $)$ 的最大值及相应的 $x$ 值．