如图四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺-优题课

如图四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F。
（1）如图，当点E在AB边的中点位置时：

①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是；
②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是；
③请证明你的上述两猜想；
（2）如图，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想并证明此时DE与EF有怎样的数量关系。

科目数学题型解答题难度中等

知识点：三角形的五心圆内接四边形的性质

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $CD ⊥ AB$ 于点 $E$ ，点 $F$ 是 $⊙ O$ 上一点，且 $\hat{AC} = \hat{CF}$ ，连接 $FB$ ， $FD$ ， $FD$ 交 $AB$ 于点 $N$ ．

（1）若 $AE = 1$ ， $CD = 6$ ，求 $⊙ O$ 的半径；

（2）求证： $ΔBNF$ 为等腰三角形；

（3）连接 $FC$ 并延长，交 $BA$ 的延长线于点 $P$ ，过点 $D$ 作 $⊙ O$ 的切线，交 $BA$ 的延长线于点 $M$ ．求证： $ON \cdot OP = OE \cdot OM$ ．

如图，直线 $AB$ 与 $x$ 轴交于点 $A (1, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B (0, 2)$ ，将线段 $AB$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $AC$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0, x > 0)$ 的图象经过点 $C$ ．

（1）求直线 $AB$ 和反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0, x > 0)$ 的解析式；

（2）已知点 $P$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0, x > 0)$ 图象上的一个动点，求点 $P$ 到直线 $AB$ 距离最短时的坐标．

小张去文具店购买作业本，作业本有大、小两种规格，大本作业本的单价比小本作业本贵0.3元，已知用8元购买大本作业本的数量与用5元购买小本作业本的数量相同．

（1）求大本作业本与小本作业本每本各多少元？

（2）因作业需要，小张要再购买一些作业本，购买小本作业本的数量是大本作业本数量的2倍，总费用不超过15元．则大本作业本最多能购买多少本？

平行四边形的其中一个判定定理是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．请你证明这个判定定理．

已知：如图，在四边形 $ABCD$ 中， $AB = CD$ ， $AD = BC$ ．

求证：四边形 $ABCD$ 是平行四边形．

证明：

据公开报道，2017年全国教育经费总投入为42557亿元，比上年增长 $9.43 %$ ，其中投入在各学段的经费占比（即所占比例）如图，根据图中提供的信息解答下列问题．

（1）在2017年全国教育经费总投入中，义务教育段的经费总投入应该是多少亿元？

（2）2016年全国教育经费总投入约为多少亿元？（精确到 $0.1)$

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