如图,四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形-优题课

如图, 四棱柱 $A B C D － A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是正方形, $O$ 为底面中心, $A_{1} O ⊥$ 平面 $A B C D$ , $A B = A A_{1} = \sqrt{2}$ .

(Ⅰ) 证明: $A_{1} C ⊥$ 平面 $B B_{1} D_{1} D$ ;
(Ⅱ) 求平面 $O C B_{1}$ 与平面 $B B_{1} D_{1} D$ 的夹角 $θ$ 的大小.

科目数学题型解答题难度中等

如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥ 底面 A B C D, A D ⊥ A B, A B ∥ D C$ ， $A D = D C = A P = 2$ ， $A B = 1$ ，点 $E$ 为棱 $P C$ 的中点．

（1）证明： $B E ⊥ D C$ ；
（2）求直线 $B E$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值；
（3）若 $F$ 为棱 $P C$ 上一点，满足 $B F \land A C$ ，求二面角 $F F - A B - P$ 的余弦值．

某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．
（1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
（2）设 $X$ 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望．

已知函数 $f (x) = \cos x \cdot \sin (x + \frac{π}{3}) - \sqrt{3} \cos^{2} x + \frac{\sqrt{3}}{4}$ ， $x \in R$ ．
（1）求 $f (x)$ 的最小正周期；
（2）求 $f (x)$ 在闭区间 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上的最大值和最小值．

设函数 $f (x) = |x + \frac{1}{a}| + |x - a| (a > 0)$ .

（1）证明： $f (x) \geq 2$ ；
（2）若 $f (3) < 5$ ，求 $a$ 的取值范围.

在直角坐标系 $x o y$ 中，以坐标原点为极点， $x$ 轴为极轴建立极坐标系，半圆 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \cos θ$ ， $θ \in [0, \frac{π}{2}]$ .
（1）求 $C$ 的参数方程；

（2）设点 $D$ 在 $C$ 上， $C$ 在 $D$ 处的切线与直线 $l : y = \sqrt{3} x + 2$ 垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定 $D$ 的坐标.

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