在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场-优题课

题文

在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.
(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;
(Ⅱ) $X$ 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求 $X$ 的分布列和数学期望.

科目数学题型解答题难度中等

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如图，在六面体 $A B C D － A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，四边形 $A B C D$ 是边长为2的正方形，四边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是边长为1的正方形， $D D_{1} ⊥ 平面 A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $D D_{1} ⊥ 平面 A B C D$ ， $D D_{1} ＝ 2$ .

（Ⅰ）求证： $A_{1} C_{1} 与 A C$ 共面， $B_{1} D_{1} 与 B D$ 共面；
（Ⅱ）求证： $平面 A_{1} A C C_{1} ⊥ 平面 B_{1} B D D_{1}$ ；
（Ⅲ）求二面角 $A － B B_{1} － C$ 的大小（用反三角函数值表示）.

已知0＜a＜的最小正周期， $向量 a = （ \tan （ α + β / 4 ）， - 1), 向量 b = （ \cos α ， 2 ），且向量 a \times 向量 b = m ，$ 求 $\frac{2 \cos^{2} α + \sin 2 (α + β)}{\cos α - \sin α}$ .

已知函数 $f (x) = x^{2 t} - 2 t (x^{2} + x) + x^{2} + 2 t^{2} + 1$ ， $g (x) = \frac{1}{2} f (x)$ ．
（I）证明：当 $t < 2 \sqrt{2}$ 时， $g (x)$ 在 $R$ 上是增函数；
（II）对于给定的闭区间 $[a, b]$ ，试说明存在实数 $k$ ，当 $t > k$ 时， $g (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上是减函数；
（III）证明： $f (x) \geq \frac{3}{2}$ ．

已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 与函数 $f (x)$ ， $g (x)$ ， $x \in R$ 满足条件： $a_{n} = b_{n}$ ， $f (b_{n}) = g (b_{n + 1})$ .( $n \in N^{*}$ )

（I）若 $f (x) \geq t x + 1, t \neq 0, t \neq 2,$ $g (x) = 2 x$ ， $f (b) \neq g (b)$ ， $\underset{n \to \infty}{l i m} a_{n}$ 存在，求 $x$ 的取值范围；
（II）若函数 $y = f (x)$ 为 $R$ 上的增函数， $g (x) = f^{- 1} (x)$ ， $b = 1$ ， $f (1) < 1$ ，证明对任意 $n \in N^{*}$ ， $\underset{n \to \infty}{l i m} a_{n}$ （用 $t$ 表示）．

已知正三角形 $O A B$ 的三个顶点都在抛物线 $y^{2} = 2 x$ 上，其中 $O$ 为坐标原点，设圆 $C$ 是 $O A B$ 的内接圆（点 $C$ 为圆心）
（I）求圆 $C$ 的方程；
（II）设圆 $M$ 的方程为 ${(x - 4 - 7 \cos θ)}^{2} + {(y - 7 \cos θ)}^{2} = 1$ ，过圆 $M$ 上任意一点 $P$ 分别作圆 $C$ 的两条切线 $P E, P F$ ，切点为 $E, F$ ，求 $\overset{⇀}{C E}, \overset{⇀}{C F}$ 的最大值和最小值．

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