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题文

已知函数.
(1) 试判断函数上单调性并证明你的结论;
(2) 若恒成立, 求整数的最大值;
(3) 求证:.

科目 数学   题型 解答题   难度 较易
知识点: 函数的基本性质
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(本小题满分12分)一次数学测验,某班50名的成绩全部介于90分到140分之间.将成绩结果按如下方式分成五段:第一段,第二段,……,第五段.按上述分段方法得到的频率分布直方图如图所示.

(Ⅰ)若成绩大于或等于100分且小于120分认为是良好的,求该校参赛学生在这次数学联赛中成绩良好的人数;
(Ⅱ)现将分数在[90,110)内同学分为第1组,在[110,120)内的分为第2组,在[120,140)内的分为第3组,然后从中随机抽取2人,用ξ表示这2人所在组数之差的绝对值,求ξ的分布列和期望.

(本小题满分14分)如图,为椭圆的左、右焦点,是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率.若在椭圆上,则点称为点的一个“椭点”.直线与椭圆交于两点, 两点的“椭点”分别为

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)是否存在过左焦点的直线,使得以为直径的圆经过坐标原点?若存在,求出该直线方程,若不存在,是说明理由.

(本小题满分13分)设函数
(Ⅰ)若函数在定义域上为增函数,求实数的取值范围;
(Ⅱ)求函数的极值点.

(本小题满分12分)已知数列的前n项和是,且
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)记,数列的前项和,证明

(本小题满分12分)如图1所示的梯形中,,且,如图2,沿将四边形折起,使得面与面垂直,的中点.

(Ⅰ)求证:平面平面
(Ⅱ)求证:

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