(本小题满分12分)一次数学测验,某班50名的成绩全部介于90分到140分之间.将成绩结果按如下方式分成五段:第一段,第二段
,……,第五段
.按上述分段方法得到的频率分布直方图如图所示.
(Ⅰ)若成绩大于或等于100分且小于120分认为是良好的,求该校参赛学生在这次数学联赛中成绩良好的人数;
(Ⅱ)现将分数在[90,110)内同学分为第1组,在[110,120)内的分为第2组,在[120,140)内的分为第3组,然后从中随机抽取2人,用ξ表示这2人所在组数之差的绝对值,求ξ的分布列和期望.
(本小题满分14分)如图,、
为椭圆
的左、右焦点,
、
是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率
,
.若
在椭圆
上,则点
称为点
的一个“椭点”.直线
与椭圆交于
、
两点,
、
两点的“椭点”分别为
、
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)是否存在过左焦点的直线
,使得以
为直径的圆经过坐标原点?若存在,求出该直线方程,若不存在,是说明理由.
(本小题满分13分)设函数.
(Ⅰ)若函数在定义域上为增函数,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)求函数的极值点.
(本小题满分12分)已知数列的前n项和是
,且
.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)记,数列
的前
项和
,证明
.
(本小题满分12分)如图1所示的梯形中,
,
,且
,如图2,沿
将四边形
折起,使得面
与面
垂直,
为
的中点.
(Ⅰ)求证:平面平面
(Ⅱ)求证:.