如图，在Rt△ABC中，∠C90°，以AC为一边向外作等边三-优题课

如图， $CD$ 是 $⊙ O$ 的切线，点 $C$ 在直径 $AB$ 的延长线上．

（1）求证： $∠ CAD = ∠ BDC$ ；

（2）若 $BD = \frac{2}{3} AD$ ， $AC = 3$ ，求 $CD$ 的长．

小明和小刚相约周末到雪莲大剧院看演出，他们的家分别距离剧院 $1200 m$ 和 $2000 m$ ，两人分别从家中同时出发，已知小明和小刚的速度比是 $3 : 4$ ，结果小明比小刚提前 $4 \min$ 到达剧院．求两人的速度．

2018年东营市教育局在全市中小学开展了“情系疏勒书香援疆”捐书活动，200多所学校的师生踊跃参与，向新疆疏勒县中小学共捐赠爱心图书28.5万余本．某学校学生社团对本校九年级学生所捐图书进行统计，根据收集的数据绘制了下面不完整的统计图表．请你根据统计图表中所提供的信息解答下列问题：

（1）求该校九年级共捐书多少本；

（2）统计表中的 $a =$ 　　， $b =$ 　　， $c =$ 　　， $d =$ 　　；

（3）若该校共捐书1500本，请估计“科普图书”和“小说”一共多少本；

（4）该社团3名成员各捐书1本，分别是1本“名人传记”，1本“科普图书”，1本“小说”，要从这3人中任选2人为受赠者写一份自己所捐图书的简介，请用列表法或树状图求选出的2人恰好1人捐“名人传记”，1人捐“科普图书”的概率．

如图1，在平面直角坐标系中，直线 $y = x - 1$ 与抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，其中 $A (m, 0)$ 、 $B (4, n)$ ，该抛物线与 $y$ 轴交于点 $C$ ，与 $x$ 轴交于另一点 $D$ ．

（1）求 $m$ 、 $n$ 的值及该抛物线的解析式；

（2）如图2，若点 $P$ 为线段 $AD$ 上的一动点（不与 $A$ 、 $D$ 重合），分别以 $AP$ 、 $DP$ 为斜边，在直线 $AD$ 的同侧作等腰直角 $ΔAPM$ 和等腰直角 $ΔDPN$ ，连接 $MN$ ，试确定 $ΔMPN$ 面积最大时 $P$ 点的坐标；

（3）如图3，连接 $BD$ 、 $CD$ ，在线段 $CD$ 上是否存在点 $Q$ ，使得以 $A$ 、 $D$ 、 $Q$ 为顶点的三角形与 $ΔABD$ 相似，若存在，请直接写出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

再读教材：

宽与长的比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ （约为 $0.618)$ 的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示： $MN = 2)$

第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．

第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．

第三步，折出内侧矩形的对角线 $AB$ ，并把 $AB$ 折到图③中所示的 $AD$ 处．

第四步，展平纸片，按照所得的点 $D$ 折出 $DE$ ，使 $DE ⊥ ND$ ，则图④中就会出现黄金矩形．

问题解决：

（1）图③中 $AB =$ 　　（保留根号）；

（2）如图③，判断四边形 $BADQ$ 的形状，并说明理由；

（3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．

实际操作

（4）结合图④，请在矩形 $BCDE$ 中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来，并写出它的长和宽．