(本小题满分12分）有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是-优题课

(本小题满分12分）有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一排组成.

第一排	明文字符	A	B	C	D
密码字符	11	12	13	14
第二排	明文字符	E	F	G	H
密码字符	21	22	23	24
第三排	明文字符	M	N	P	Q
密码字符	1	2	3	4

设随机变量表示密码中不同数字的个数．
(Ⅰ)求； (Ⅱ)求随机变量的分布列和它的数学期望．

科目数学题型解答题难度困难

在 $△ ABC$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．已知 $a \sin B = \sqrt{3} b \cos A$ ， $c - 2 b = 1$ ， $a = \sqrt{7}$ ．

（1）求 $A$ 的值；

（2）求 $c$ 的值；

（3）求 $\sin (A + 2 B)$ 的值．

在直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P$ 到 $x$ 轴的距离等于点 $P$ 到点 $(0, \frac{1}{2})$ 的距离，记动点 $P$ 的轨迹为 $W$ ．

（1）求 $W$ 的方程；

（2）已知矩形 $A B C D$ 有三个顶点在 $W$ 上，证明：矩形 $A B C D$ 的周长大于 $3 \sqrt{3}$ ．

甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 $0.6$ ，乙每次投篮的命中率均为 $0.8$ ．由抽签确定第 $1$ 次投篮的人选，第 $1$ 次投篮的人是甲、乙的概率各为 $0.5$ ．

（1）求第 $2$ 次投篮的人是乙的概率；

（2）求第 $i$ 次投篮的人是甲的概率；

（3）已知：若随机变量 $X_{i}$ 服从两点分布，且 $P (X_{i} = 1) = 1 - P (X_{i} = 0) = q_{i}$ ， $i = 1, 2, . . ., n$ 则 $E ({\sum X_{i}}_{i = 1}^{n}) = {\sum q_{i}}_{i = 1}^{n}$ ．记前 $n$ 次（即从第 $1$ 次到第 $n$ 次投篮）中甲投篮的次数为 $Y$ ，求 $E (Y)$ ．

设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d$ ，且 $d > 1$ ．令 $b_{n} = \frac{n^{2} + n}{a_{n}}$ ，记 $S_{n}$ ， $T_{n}$ 分别为数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和．

（1）若 $3 a_{2} = 3 a_{1} + a_{3}$ ， $S_{3} + T_{3} = 21$ ，求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

（2）若 $\{b_{n}\}$ 为等差数列，且 $S_{99} - T_{99} = 99$ ，求 $d$ ．

已知函数 $f (x) = a (e^{x} + a) - x$ ．

（1）讨论 $f (x)$ 的单调性；

（2）证明：当 $a > 0$ 时， $f (x) > 2 \ln a + \frac{3}{2}$ ．

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