如图1，在四棱锥
中，
底面
，面为正方形，
为侧棱
上一点，
为
上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．
（Ⅰ）求四面体
的体积；
（Ⅱ）证明：
∥平面
；
（Ⅲ）证明：平面
平面
．
设
是定义在
上的函数，若对任何实数
以及中的任意两数
、
，恒有
，则称为定义在上的
函数．
（1）证明函数
是定义域上的函数；
（2）判断函数
是否为定义域上的函数，请说明理由；
（3）若是定义域为
的函数，且最小正周期为
，试证明不是上的函数．
对于正项数列
，若
对一切
恒成立，则
对
也恒成立是真命题．
（1）若
，
，且
，求证：数列前
项和
；
（2）若
，
，求证：
．
曲线
是平面内到直线
和直线
的距离之积等于常数
的点的轨迹，设曲线的轨迹方程
．
（1）求曲线的方程；
（2）定义：若存在圆
使得曲线上的每一点都落在圆外或圆上，则称圆为曲线的收敛圆．判断曲线是否存在收敛圆？若存在，求出收敛圆方程；若不存在，请说明理由．
为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车。每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车。今年初投入了电力型公交车
辆，混合动力型公交车
辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加
，混合动力型车每年比上一年多投入
辆．设
、
分别为第
年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，设
、
分别为年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量。
（1）求
、
，并求年里投入的所有新公交车的总数
；
（2）该市计划用
年的时间完成全部更换，求的最小值．
已知函数
，求
的最小正周期，并求在区间
上的最大值和最小值．