某校高三4班有50名学生进行了一场投篮测试,其中男生30人,女生20人.为了了解其投篮成绩,甲、乙两人分别都对全班的学生进行编号(1~50号),并以不同的方法进行数据抽样,其中一人用的是系统抽样,另一人用的是分层抽样.若此次投篮考试的成绩大于或等于80分视为优秀,小于80分视为不优秀,以下是甲、乙两人分别抽取的样本数据:
编号 |
性别 |
投篮成绩 |
2 |
男 |
90 |
7 |
女 |
60 |
12 |
男 |
75 |
17 |
男 |
80 |
22 |
女 |
83 |
27 |
男 |
85 |
32 |
女 |
75 |
37 |
男 |
80 |
42 |
女 |
70 |
47 |
女 |
60 |
甲抽取的样本数据
编号 |
性别 |
投篮成绩 |
1 |
男 |
95 |
8 |
男 |
85 |
10 |
男 |
85 |
20 |
男 |
70 |
23 |
男 |
70 |
28 |
男 |
80 |
33 |
女 |
60 |
35 |
女 |
65 |
43 |
女 |
70 |
48 |
女 |
60 |
乙抽取的样本数据
(Ⅰ)观察乙抽取的样本数据,若从男同学中抽取两名,求两名男同学中恰有一名非优秀的概率.
(Ⅱ)请你根据乙抽取的样本数据完成下列2×2列联表,判断是否有95%以上的把握认为投篮成绩和性别有关?
|
优秀 |
非优秀 |
合计 |
男 |
|
|
|
女 |
|
|
|
合计 |
|
|
10 |
(Ⅲ)判断甲、乙各用何种抽样方法,并根据(Ⅱ)的结论判断哪种抽样方法更优?说明理由.
下面的临界值表供参考:
![]() |
0.15 |
0.10 |
0.05 |
0.010 |
0.005 |
0.001 |
![]() |
2.072 |
2.706 |
3.841 |
6.635 |
7.879 |
10.828 |
(参考公式:,其中
)
(本小题满分13分)
现有两种投资方案,一年后投资盈亏的情况如下:
(1)投资股市:
投资结果 |
获利40% |
不赔不赚 |
亏损20% |
概率 |
![]() |
![]() |
![]() |
(2)购买基金:
投资结果 |
获利20% |
不赔不赚 |
亏损10% |
概率 |
![]() |
![]() |
![]() |
(Ⅰ)当时,求q的值;
(Ⅱ)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资,如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于,求
的取值范围;
(Ⅲ)丙要将家中闲置的10万元钱进行投资,决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种,已知,
,那么丙选择哪种投资方案,才能使得一年后投资收益的数学期望较大?给出结果并说明理由.
(本小题满分13分)已知函数, x∈R的部分图象如图所示.
(Ⅰ)求函数的最小正周期和单调递增区间;
(Ⅱ) 设点B是图象上的最高点,点A是图象与x轴的交点,求的值.
(本小题满分14分)已知动圆过定点
,且在
轴上截得弦长为
.设该动圆圆心的轨迹为曲线
.
(1)求曲线方程;
(2)点为直线
:
上任意一点,过
作曲线
的切线,切点分别为
、
,
面积的最小值及此时点
的坐标.
(本小题满分15分)在直三棱柱中,底面
是边长为2的正三角形,
是棱
的中点,且
.
(1)试在棱上确定一点
,使
平面
;
(2)当点在棱
中点时,求直线
与平面
所成角的大小的正弦值。
(本小题满分15分)已知数列的前
项和
满足:
(
为常数,且
).
(1)设,若数列
为等比数列,求
的值;
(2)在满足条件(1)的情形下,设,数列
的前
项和为
,若不等式
对任意的
恒成立,求实数
的取值范围.