如图，在Rt△ABC中，∠A90°，O是BC边上一点，以O为-优题课

【证明体验】

（1）如图1， $AD$ 为 $ΔABC$ 的角平分线， $∠ ADC = 60 °$ ，点 $E$ 在 $AB$ 上， $AE = AC$ ．求证： $DE$ 平分 $∠ ADB$ ．

【思考探究】

（2）如图2，在（1）的条件下， $F$ 为 $AB$ 上一点，连结 $FC$ 交 $AD$ 于点 $G$ ．若 $FB = FC$ ， $DG = 2$ ， $CD = 3$ ，求 $BD$ 的长．

【拓展延伸】

（3）如图3，在四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 平分 $∠ BAD$ ， $∠ BCA = 2 ∠ DCA$ ，点 $E$ 在 $AC$ 上， $∠ EDC = ∠ ABC$ ．若 $BC = 5$ ， $CD = 2 \sqrt{5}$ ， $AD = 2 AE$ ，求 $AC$ 的长．

某通讯公司就手机流量套餐推出三种方案，如下表：

	$A$ 方案	$B$ 方案	$C$ 方案
每月基本费用（元 $)$	20	56	266
每月免费使用流量（兆 $)$	1024	$m$	无限
超出后每兆收费（元 $)$	$n$	$n$

$A$ ， $B$ ， $C$ 三种方案每月所需的费用 $y$ （元 $)$ 与每月使用的流量 $x$ （兆 $)$ 之间的函数关系如图所示．

（1）请写出 $m$ ， $n$ 的值．

（2）在 $A$ 方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用 $y$ （元 $)$ 与每月使用的流量 $x$ （兆 $)$ 之间的函数关系式．

（3）在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择 $C$ 方案最划算？

我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄 $AP$ 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角 $∠ BAC$ ，且 $AB = AC$ ，从而保证伞圈 $D$ 能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈 $D$ 已滑动到点 $D^{'}$ 的位置，且 $A$ ， $B$ ， $D'$ 三点共线， $AD' = 40 cm$ ， $B$ 为 $AD'$ 中点．当 $∠ BAC = 140 °$ 时，伞完全张开．

（1）求 $AB$ 的长．

（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈 $D$ 沿着伞柄向下滑动的距离．

（参考数据： $\sin 70 ° \approx 0.94$ ， $\cos 70 ° \approx 0.34$ ， $\tan 70 ° \approx 2.75)$

图1表示的是某书店今年 $1 ~ 5$ 月的各月营业总额的情况，图2表示的是该书店"党史"类书籍的各月营业额占书店当月营业总额的百分比情况．若该书店 $1 ~ 5$ 月的营业总额一共是182万元，观察图1、图2，解答下列问题：

（1）求该书店4月份的营业总额，并补全条形统计图．

（2）求5月份"党史"类书籍的营业额．

（3）请你判断这5个月中哪个月"党史"类书籍的营业额最高，并说明理由．

如图，二次函数 $y = (x - 1) (x - a) (a$ 为常数）的图象的对称轴为直线 $x = 2$ ．

（1）求 $a$ 的值．

（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．