水源村在今年退耕还林活动中，计划植树200亩，全村在完成植树-优题课

在平面直角坐标系 $xOy$ 中的点 $P$ 和图形 $M$ ，给出如下的定义：若在图形 $M$ 上存在一点 $Q$ ，使得 $P$ 、 $Q$ 两点间的距离小于或等于1，则称 $P$ 为图形 $M$ 的关联点．

（1）当 $⊙ O$ 的半径为2时，

①在点 $P_{1} (\frac{1}{2}$ ， $0)$ ， $P_{2} (\frac{1}{2}$ ， $\frac{\sqrt{3}}{2})$ ， $P_{3} (\frac{5}{2}$ ， $0)$ 中， $⊙ O$ 的关联点是　　．

②点 $P$ 在直线 $y = - x$ 上，若 $P$ 为 $⊙ O$ 的关联点，求点 $P$ 的横坐标的取值范围．

（2） $⊙ C$ 的圆心在 $x$ 轴上，半径为2，直线 $y = - x + 1$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ ．若线段 $AB$ 上的所有点都是 $⊙ C$ 的关联点，直接写出圆心 $C$ 的横坐标的取值范围．

在等腰直角 $ΔABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $P$ 是线段 $BC$ 上一动点（与点 $B$ 、 $C$ 不重合），连接 $AP$ ，延长 $BC$ 至点 $Q$ ，使得 $CQ = CP$ ，过点 $Q$ 作 $QH ⊥ AP$ 于点 $H$ ，交 $AB$ 于点 $M$ ．

（1）若 $∠ PAC = α$ ，求 $∠ AMQ$ 的大小（用含 $α$ 的式子表示）．

（2）用等式表示线段 $MB$ 与 $PQ$ 之间的数量关系，并证明．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y = x^{2} - 4 x + 3$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求直线 $BC$ 的表达式；

（2）垂直于 $y$ 轴的直线 $l$ 与抛物线交于点 $P (x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $Q (x_{2}$ ， $y_{2})$ ，与直线 $BC$ 交于点 $N (x_{3}$ ， $y_{3})$ ，若 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，结合函数的图象，求 $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ 的取值范围．

如图， $P$ 是 $\hat{AB}$ 所对弦 $AB$ 上一动点，过点 $P$ 作 $PM ⊥ AB$ 交 $\hat{AB}$ 于点 $M$ ，连接 $MB$ ，过点 $P$ 作 $PN ⊥ MB$ 于点 $N$ ．已知 $AB = 6 cm$ ，设 $A$ 、 $P$ 两点间的距离为 $xcm$ ， $P$ 、 $N$ 两点间的距离为 $ycm$ ．（当点 $P$ 与点 $A$ 或点 $B$ 重合时， $y$ 的值为 $0)$

小东根据学习函数的经验，对函数 $y$ 随自变量 $x$ 的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小东的探究过程，请补充完整：

（1）通过取点、画图、测量，得到了 $x$ 与 $y$ 的几组值，如下表：

$x / cm$	0	1	2	3	4	5	6
$y / cm$	0	2.0	2.3	2.1		0.9	0

（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）

（2）建立平面直角坐标系，描出已补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．

（3）结合画出的函数图象，解决问题：当 $ΔPAN$ 为等腰三角形时， $AP$ 的长度约为　　 $cm$ ．

某工厂甲、乙两个部门各有员工400人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．

收集数据

从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百分制）如下：

甲 78 86 74 81 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 80 86 69 83 77

乙 93 73 88 81 72 81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 40

整理、描述数据

按如下分数段整理、描述这两组样本数据：

成绩 $x$

人数

部门

$40 ⩽ x ⩽ 49$

$50 ⩽ x ⩽ 59$

$60 ⩽ x ⩽ 69$

$70 ⩽ x ⩽ 79$

$80 ⩽ x ⩽ 89$

$90 ⩽ x ⩽ 100$

甲

0

1

11

7

1

乙

　1　

（说明：成绩80分及以上为生产技能优秀， $70 - - 79$ 分为生产技能良好， $60 - - 69$ 分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格）

解析数据

两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：

部门	平均数	中位数	众数
甲	78.3	77.5	75
乙	78	80.5	81

得出结论： $a$ ．估计乙部门生产技能优秀的员工人数为　　； $b$ ．可以推断出　　部门员工的生产技能水平较高，理由为　　．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）