如图，在矩形ABCD中，AB2DA，以点A为圆心，AB为半径-优题课

如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA=2．

（1）求线段EC的长；
（2）求图中阴影部分的面积．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆幂定理解直角三角形

如图所示，四边形 $ABCD$ 是菱形，边 $BC$ 在 $x$ 轴上，点 $A (0, 4)$ ，点 $B (3, 0)$ ，双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 与直线 $BD$ 交于点 $D$ 、点 $E$ ．

（1）求 $k$ 的值；

（2）求直线 $BD$ 的解析式；

（3）求 $ΔCDE$ 的面积．

在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和2个白球，把它们充分搅匀．

（1）“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是　　事件，“从中任意抽取1个球是黑球”是　　事件；

（2）从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是　　；

（3）学校决定在甲、乙两名同学中选取一名作为学生代表发言，制定如下规则：从盒子中任取两个球，若两球同色，则选甲；若两球异色，则选乙．你认为这个规则公平吗？请用列表法或画树状图法加以说明．

在如图所示的平面直角坐标系中，已知点 $A (- 3, - 3)$ ，点 $B (- 1, - 3)$ ，点 $C (- 1, - 1)$ ．

（1）画出 $ΔABC$ ；

（2）画出 $ΔABC$ 关于 $x$ 轴对称的△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出 $A_{1}$ 点的坐标：　　；

（3）以 $O$ 为位似中心，在第一象限内把 $ΔABC$ 扩大到原来的两倍，得到△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ ，并写出 $A_{2}$ 点的坐标：　　．

如图，在 $▱ ABCD$ 中，过 $B$ 点作 $BM ⊥ AC$ 于点 $E$ ，交 $CD$ 于点 $M$ ，过 $D$ 点作 $DN ⊥ AC$ 于点 $F$ ，交 $AB$ 于点 $N$ ．

（1）求证：四边形 $BMDN$ 是平行四边形；

（2）已知 $AF = 12$ ， $EM = 5$ ，求 $AN$ 的长．

抛物线 $y = 4 x^{2} - 2 ax + b$ 与 $x$ 轴相交于 $A (x_{1}$ ， $0)$ ， $B (x_{2}$ ， $0) (0 < x_{1} < x_{2})$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）设 $AB = 2$ ， $\tan ∠ ABC = 4$ ，求该抛物线的解析式；

（2）在（1）中，若点 $D$ 为直线 $BC$ 下方抛物线上一动点，当 $ΔBCD$ 的面积最大时，求点 $D$ 的坐标；

（3）是否存在整数 $a$ ， $b$ 使得 $1 < x_{1} < 2$ 和 $1 < x_{2} < 2$ 同时成立，请证明你的结论．