如图，在△ABC中，ABAC，以AB为直径作半圆⊙0，交BC-优题课

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙0，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．

（1）求证：EF是⊙0的切线．
（2）如果⊙O的半径为5，sin∠ADE=，求BF的长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆幂定理解直角三角形

如图是由边长为1的小正方形构成的 $6 \times 4$ 的网格，点 $A$ ， $B$ 均在格点上．

（1）在图1中画出以 $AB$ 为边且周长为无理数的 $▱ ABCD$ ，且点 $C$ 和点 $D$ 均在格点上（画出一个即可）．

（2）在图2中画出以 $AB$ 为对角线的正方形 $AEBF$ ，且点 $E$ 和点 $F$ 均在格点上．

（1）计算： $(1 + a) (1 - a) + {(a + 3)}^{2}$ ．

（2）解不等式组： $\{\begin{matrix} 2 x + 1 < 9 \\ 3 - x ⩽ 0 \end{matrix}$ ．

如图，在菱形 $ABCD$ 中， $∠ ABC$ 是锐角， $E$ 是 $BC$ 边上的动点，将射线 $AE$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转，交直线 $CD$ 于点 $F$ ．

（1）当 $AE ⊥ BC$ ， $∠ EAF = ∠ ABC$ 时，

①求证： $AE = AF$ ；

②连结 $BD$ ， $EF$ ，若 $\frac{EF}{BD} = \frac{2}{5}$ ，求 $\frac{S_{ΔAEF}}{S_{菱形 ABCD}}$ 的值；

（2）当 $∠ EAF = \frac{1}{2} ∠ BAD$ 时，延长 $BC$ 交射线 $AF$ 于点 $M$ ，延长 $DC$ 交射线 $AE$ 于点 $N$ ，连结 $AC$ ， $MN$ ，若 $AB = 4$ ， $AC = 2$ ，则当 $CE$ 为何值时， $ΔAMN$ 是等腰三角形．

如图，已知抛物线 $L : y = x^{2} + bx + c$ 经过点 $A (0, - 5)$ ， $B (5, 0)$ ．

（1）求 $b$ ， $c$ 的值；

（2）连结 $AB$ ，交抛物线 $L$ 的对称轴于点 $M$ ．

①求点 $M$ 的坐标；

②将抛物线 $L$ 向左平移 $m (m > 0)$ 个单位得到抛物线 $L_{1}$ ．过点 $M$ 作 $MN / / y$ 轴，交抛物线 $L_{1}$ 于点 $N$ ． $P$ 是抛物线 $L_{1}$ 上一点，横坐标为 $- 1$ ，过点 $P$ 作 $PE / / x$ 轴，交抛物线 $L$ 于点 $E$ ，点 $E$ 在抛物线 $L$ 对称轴的右侧．若 $PE + MN = 10$ ，求 $m$ 的值．

如图，在 $ΔABC$ 中， $AC = BC$ ，以 $BC$ 为直径的半圆 $O$ 交 $AB$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作半圆 $O$ 的切线，交 $AC$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $∠ ACB = 2 ∠ ADE$ ；

（2）若 $DE = 3$ ， $AE = \sqrt{3}$ ，求 $\hat{CD}$ 的长．

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