在矩形ABCD中，DC2，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、-优题课

为了促进学生多样化发展，某校组织开展了社团活动，分别设置了体育类、艺术类、文学类及其它类社团（要求人人参与社团，每人只能选择一项）．为了解学生喜爱哪种社团活动，学校做了一次抽样调查．根据收集到的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，完成下列问题：

（1）此次共调查了多少人？

（2）求文学社团在扇形统计图中所占圆心角的度数；

（3）请将条形统计图补充完整；

（4）若该校有1500名学生，请估计喜欢体育类社团的学生有多少人？

在平面直角坐标系中， $ΔABC$ 的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．

（1）将 $ΔABC$ 沿 $x$ 轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

（2）将 $ΔABC$ 绕着点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ ，画出旋转后得到的△ $A B_{2} C_{2}$ ，并直接写出点 $B_{2}$ 、 $C_{2}$ 的坐标．

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y = x^{2} + \frac{1}{4}$ 与 $y$ 轴相交于点 $A$ ，点 $B$ 与点 $O$ 关于点 $A$ 对称

（1）填空：点 $B$ 的坐标是　　；

（2）过点 $B$ 的直线 $y = kx + b$ （其中 $k < 0)$ 与 $x$ 轴相交于点 $C$ ，过点 $C$ 作直线 $l$ 平行于 $y$ 轴， $P$ 是直线 $l$ 上一点，且 $PB = PC$ ，求线段 $PB$ 的长（用含 $k$ 的式子表示），并判断点 $P$ 是否在抛物线上，说明理由；

（3）在（2）的条件下，若点 $C$ 关于直线 $BP$ 的对称点 $C'$ 恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点 $P$ 的坐标．

阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1， $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，点 $D$ 在 $BC$ 边上， $∠ DAB = ∠ ABD$ ， $BE ⊥ AD$ ，垂足为 $E$ ，求证： $BC = 2 AE$ ．

小明经探究发现，过点 $A$ 作 $AF ⊥ BC$ ，垂足为 $F$ ，得到 $∠ AFB = ∠ BEA$ ，从而可证 $ΔABF ≅ ΔBAE$ （如图 $2)$ ，使问题得到解决．

（1）根据阅读材料回答： $ΔABF$ 与 $ΔBAE$ 全等的条件是　　（填“ $SSS$ ”、“ $SAS$ ”、“ $ASA$ ”、“ $AAS$ ”或“ $HL$ ”中的一个）

参考小明思考问题的方法，解答下列问题：

（2）如图3， $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $∠ BAC = 90 °$ ， $D$ 为 $BC$ 的中点， $E$ 为 $DC$ 的中点，点 $F$ 在 $AC$ 的延长线上，且 $∠ CDF = ∠ EAC$ ，若 $CF = 2$ ，求 $AB$ 的长；

（3）如图4， $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $∠ BAC = 120 °$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别在 $AB$ 、 $AC$ 边上，且 $AD = kDB$ （其中 $0 < k < \frac{\sqrt{3}}{3})$ ， $∠ AED = ∠ BCD$ ，求 $\frac{AE}{EC}$ 的值（用含 $k$ 的式子表示）．

如图1， $ΔABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ，线段 $DE$ 在射线 $BC$ 上，且 $DE = AC$ ，线段 $DE$ 沿射线 $BC$ 运动，开始时，点 $D$ 与点 $B$ 重合，点 $D$ 到达点 $C$ 时运动停止，过点 $D$ 作 $DF = DB$ ，与射线 $BA$ 相交于点 $F$ ，过点 $E$ 作 $BC$ 的垂线，与射线 $BA$ 相交于点 $G$ ．设 $BD = x$ ，四边形 $DEGF$ 与 $ΔABC$ 重叠部分的面积为 $S$ ， $S$ 关于 $x$ 的函数图象如图2所示（其中 $0 < x ⩽ 1$ ， $1 < x ⩽ m$ ， $m < x ⩽ 3$ 时，函数的解析式不同）

（1）填空： $BC$ 的长是　　；

（2）求 $S$ 关于 $x$ 的函数关系式，并写出 $x$ 的取值范围．