计算：(2021π)0121(12)12cos45°．-优题课

已知平面直角坐标系中，点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 和直线 $Ax + By + C = 0$ （其中 $A ， B$ 不全为0 $）$ ，则点 $P$ 到直线 $Ax + By + C = 0$ 的距离 $d$ 可用公式 $d = \frac{|A x_{0} + B y_{0} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ 来计算.

例如:求点 $P （ 1 ， 2 ）$ 到直线 $y = 2 x + 1$ 的距离，因为直线 $y = 2 x + 1$ 可化为 $2 x - y + 1 = 0$ ，其中 $A = 2 ， B = - 1 ， C = 1$ ，所以点 $P （ 1 ， 2 ）$ 到直线 $y = 2 x + 1$ 的距离为 $d = \frac{|A x_{0} + B y_{0} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} = \frac{| 2 \times 1 + （ - 1 ） \times 2 + 1 |}{\sqrt{2^{2} + （ - 1 ）^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ .根据以上材料，解答下列问题:

（1）求点 $M （ 0 ， 3 ）$ 到直线 $y = \sqrt{3} x + 9$ 的距离；

（2）在（1）的条件下， $⊙ M$ 的半径 $r = 4$ ，判断 $⊙ M$ 与直线 $y = \sqrt{3} x + 9$ 的位置关系，若相交，设其弦长为 $n$ ，求 $n$ 的值；若不相交，说明理由.

如图，在 $△ ABC$ 中， $∠ ACB = 90^{\circ} ， CD ⊥ AB$ 于点 $D ， CD = 1$ ，已知 $AD ， BD$ 的长是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + px + q = 0$ 的两根，且 $\tan A - \tan B = 2$ ，求 $p ， q$ 的值.

如图①，在， $Rt △ ABC$ 中，以下是小亮探究 $\frac{a}{\sin A}$ 与 $\frac{b}{\sin B}$ 之间关系的方法:

$∵ \sin A = \frac{a}{c} ， \sin B = \frac{b}{c} ， ∴ c = \frac{a}{\sin A} ， c = \frac{b}{\sin B} ， ∴ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} .$

根据你掌握的三角函数知识.在图②）的锐角 $△ ABC$ 中，探究 $\frac{a}{\sin A} ， \frac{b}{\sin B} ， \frac{c}{\sin C}$ 之间的关系，并写出探究过程.

在 $Rt △ ABC$ 中， $∠ ACB = 90^{\circ} ， ∠ ABC = α$ ，点 $P$ 在 $△ ABC$ 的内部.

（1）如图①， $AB = 2 AC ， PB = 3$ ，点 $M ， N$ 分别在 $AB ， BC$ 边上，则 $\cos α =________， △ PMN$ 周长的最小值为________.

（2）如图②，若条件 $AB = 2 AC$ 不变，而 $PA = \sqrt{2} ， PB = \sqrt{10} ， PC = 1$ ，求 $△ ABC$ 的面积；

（3）若 $PA = m ， PB = n ， PC = k$ ，且 $k = m \cos α = n \sin α$ ，直接写出 $∠ APB$ 的度数.

如图，一架飞机由 $A$ 向 $B$ 沿水平直线方向飞行，在航线 $AB$ 的正下方有两个山头 $C ， D$ .飞机在 $A$ 处时，测得山头 $D$ 恰好在飞机的正下方，山头 $C$ 在飞机前方，俯角为 $30^{\circ}$ .飞机飞行了 $6 km$ 到 $B$ 处时，往后测得山头 $C ， D$ 的俯角分别为 $60^{\circ}$ 和 $30^{\circ}$ .已知山头 $D$ 的海拔高度为 $1 km$ ，求山头 $C$ 的海拔高度.（精确到 $0.01 km$ ，已知 $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）