如图，二次函数的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB-优题课

题文

如图，二次函数的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．

（1）请直接写出点D的坐标：　　；
（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；
（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数在给定区间上的最值

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为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了 $A$ ：机器人； $B$ ：航模； $C$ ：科幻绘画； $D$ ：信息学； $E$ ：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图．

根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）本次参加比赛的学生人数是　　名；

（2）把条形统计图补充完整；

（3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角 $α$ 的度数；

（4）在 $C$ 组最优秀的3名同学 $(1$ 名男生2名女生）和 $E$ 组最优秀的3名同学 $(2$ 名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．

如图，已知一次函数 $y = kx + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象交于点 $A (3, a)$ ，点 $B (14 - 2 a, 2)$ ．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）若一次函数图象与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ 为点 $C$ 关于原点 $O$ 的对称点，求 $ΔACD$ 的面积．

（1）化简： $(a - 1 + \frac{1}{a - 3}) \div \frac{a^{2} - 4}{a - 3}$ ；

（2）解不等式： $\frac{x + 1}{3} - 1 < \frac{x - 1}{4}$ ．

如图，菱形 $ABCD$ 的边长为1， $∠ ABC = 60 °$ ，点 $E$ 是边 $AB$ 上任意一点（端点除外），线段 $CE$ 的垂直平分线交 $BD$ ， $CE$ 分别于点 $F$ ， $G$ ， $AE$ ， $EF$ 的中点分别为 $M$ ， $N$ ．

（1）求证： $AF = EF$ ；

（2）求 $MN + NG$ 的最小值；

（3）当点 $E$ 在 $AB$ 上运动时， $∠ CEF$ 的大小是否变化？为什么？

已知抛物线 $y = a x^{2} - 2 ax - 3 + 2 a^{2} (a \neq 0)$ ．

（1）求这条抛物线的对称轴；

（2）若该抛物线的顶点在 $x$ 轴上，求其解析式；

（3）设点 $P (m, y_{1})$ ， $Q (3, y_{2})$ 在抛物线上，若 $y_{1} < y_{2}$ ，求 $m$ 的取值范围．

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