．-优题课

如图，在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 的顶点是 $A (1, 3)$ ，将 $OA$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ 后得到 $OB$ ，点 $B$ 恰好在抛物线上， $OB$ 与抛物线的对称轴交于点 $C$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2） $P$ 是线段 $AC$ 上一动点，且不与点 $A$ ， $C$ 重合，过点 $P$ 作平行于 $x$ 轴的直线，与 $ΔOAB$ 的边分别交于 $M$ ， $N$ 两点，将 $ΔAMN$ 以直线 $MN$ 为对称轴翻折，得到△ $A' MN$ ，设点 $P$ 的纵坐标为 $m$ ．

①当△ $A' MN$ 在 $ΔOAB$ 内部时，求 $m$ 的取值范围；

②是否存在点 $P$ ，使 $S_{△ A' MN} = \frac{5}{6} S_{△ OA' B}$ ，若存在，求出满足条件 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

如图，在 $⊙ O$ 中， $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为 $⊙ O$ 上一点， $P$ 是 $\hat{BC}$ 的中点，过点 $P$ 作 $AC$ 的垂线，交 $AC$ 的延长线于点 $D$ ，连接 $OP$ ．

（1）求证： $DP$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $AC = 5$ ， $\sin ∠ APC = \frac{5}{13}$ ，求 $AP$ 的长．

某超市销售 $A$ 、 $B$ 两款保温杯，已知 $B$ 款保温杯的销售单价比 $A$ 款保温杯多10元，用480元购买 $B$ 款保温杯的数量与用360元购买 $A$ 款保温杯的数量相同．

（1） $A$ 、 $B$ 两款保温杯的销售单价各是多少元？

（2）由于需求量大， $A$ 、 $B$ 两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且 $A$ 款保温杯的数量不少于 $B$ 款保温杯数量的两倍．若 $A$ 款保温杯的销售单价不变， $B$ 款保温杯的销售单价降低 $10 %$ ，两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？

如图，为测量建筑物 $CD$ 的高度，在 $A$ 点测得建筑物顶部 $D$ 点的仰角为 $22 °$ ，再向建筑物 $CD$ 前进30米到达 $B$ 点，测得建筑物顶部 $D$ 点的仰角为 $58 ° (A$ ， $B$ ， $C$ 三点在一条直线上），求建筑物 $CD$ 的高度．（结果保留整数．参考数据： $\sin 22 ° \approx 0.37$ ， $\cos 22 ° \approx 0.93$ ， $\tan 22 ° \approx 0.40$ ， $\sin 58 ° \approx 0.85$ ， $\cos 58 ° \approx 0.53$ ， $\tan 58 ° \approx 1.60)$

为了解某校九年级学生的体质健康状况，随机抽取了该校九年级学生的 $10 %$ 进行测试，将这些学生的测试成绩 $(x)$ 分为四个等级：优秀 $85 ⩽ x ⩽ 100$ ；良好 $75 ⩽ x < 85$ ；及格 $60 ⩽ x < 75$ ；不及格 $0 ⩽ x < 60$ ，并绘制成如图两幅统计图．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）在抽取的学生中不及格人数所占的百分比是　；

（2）计算所抽取学生测试成绩的平均分；

（3）若不及格学生的人数为2人，请估算出该校九年级学生中优秀等级的人数．