已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点-优题课

已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．

（Ⅰ）如图①，当∠BOP=30°时，求点P的坐标；
（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：圆内接四边形的性质相似多边形的性质

小明解答“先化简，再求值： $\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x^{2} - 1}$ ，其中 $x = \sqrt{3} + 1$ ．”的过程如图．请指出解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 4$ 分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于点 $B$ ， $C$ ，正方形 $AOCD$ 的顶点 $D$ 在第二象限内， $E$ 是 $BC$ 中点， $OF ⊥ DE$ 于点 $F$ ，连结 $OE$ ．动点 $P$ 在 $AO$ 上从点 $A$ 向终点 $O$ 匀速运动，同时，动点 $Q$ 在直线 $BC$ 上从某一点 $Q_{1}$ 向终点 $Q_{2}$ 匀速运动，它们同时到达终点．

（1）求点 $B$ 的坐标和 $OE$ 的长．

（2）设点 $Q_{2}$ 为 $(m, n)$ ，当 $\frac{n}{m} = \frac{1}{7} \tan ∠ EOF$ 时，求点 $Q_{2}$ 的坐标．

（3）根据（2）的条件，当点 $P$ 运动到 $AO$ 中点时，点 $Q$ 恰好与点 $C$ 重合．

①延长 $AD$ 交直线 $BC$ 于点 $Q_{3}$ ，当点 $Q$ 在线段 $Q_{2} Q_{3}$ 上时，设 $Q_{3} Q = s$ ， $AP = t$ ，求 $s$ 关于 $t$ 的函数表达式．

②当 $PQ$ 与 $ΔOEF$ 的一边平行时，求所有满足条件的 $AP$ 的长．

某旅行团32人在景区 $A$ 游玩，他们由成人、少年和儿童组成．已知儿童10人，成人比少年多12人．

（1）求该旅行团中成人与少年分别是多少人？

（2）因时间充裕，该团准备让成人和少年（至少各1名）带领10名儿童去另一景区 $B$ 游玩．景区 $B$ 的门票价格为100元 $/$ 张，成人全票，少年8折，儿童6折，一名成人可以免费携带一名儿童．

①若由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是多少元？

②若剩余经费只有1200元可用于购票，在不超额的前提下，最多可以安排成人和少年共多少人带队？求所有满足条件的方案，并指出哪种方案购票费用最少．

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ BAC = 90 °$ ，点 $E$ 在 $BC$ 边上，且 $CA = CE$ ，过 $A$ ， $C$ ， $E$ 三点的 $⊙ O$ 交 $AB$ 于另一点 $F$ ，作直径 $AD$ ，连结 $DE$ 并延长交 $AB$ 于点 $G$ ，连结 $CD$ ， $CF$ ．

（1）求证：四边形 $DCFG$ 是平行四边形．

（2）当 $BE = 4$ ， $CD = \frac{3}{8} AB$ 时，求 $⊙ O$ 的直径长．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 6$ 的图象交 $x$ 轴于点 $A$ ， $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左侧）

（1）求点 $A$ ， $B$ 的坐标，并根据该函数图象写出 $y ⩾ 0$ 时 $x$ 的取值范围．

（2）把点 $B$ 向上平移 $m$ 个单位得点 $B_{1}$ ．若点 $B_{1}$ 向左平移 $n$ 个单位，将与该二次函数图象上的点 $B_{2}$ 重合；若点 $B_{1}$ 向左平移 $(n + 6)$ 个单位，将与该二次函数图象上的点 $B_{3}$ 重合．已知 $m > 0$ ， $n > 0$ ，求 $m$ ， $n$ 的值．