数学活动——求重叠部分的面积。
问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：
如图（1），将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合，DE经过点C，DF交AC于点G。
求重叠部分（△DCG）的面积。
（1）独立思考：请解答老师提出的问题。
（2）合作交流：“希望”小组受此问题的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图(2)，你能求出重叠部分(△DGH)的面积吗？请写出解答过程。
（3）提出问题：老师要求各小组向“希望”小组学习，将△DEF绕点D旋转，再提出一个求重叠部分面积的问题。“爱心”小组提出的问题是：如图(3)，将△DEF绕点D旋转，DE，DF分别交AC于点M，N，使DM=MN，求重叠部分(△DMN)的面积。
任务：①请解决“爱心”小组所提出的问题，直接写出△DMN的面积是 .
②请你仿照以上两个小组，大胆提出一个符合老师要求的问题，并在图中画出图形，标明字母，不必解答（注：也可在图（1）的基础上按顺时针方向旋转）。
（本小题满分12分）
如图（1），△ABC与△
EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△EFD绕点A 顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止。不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图（2）。
（1）问：始终与△AGC相似的三角形有及；
（2）设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；
（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？
（本小题满分12分）某班同学到野外活动，为测量一池塘两端A、B的距离，设计了几种方案，下面介绍两种：（I）如图（1），先在平地取一个可以直接到达A、B的点C，并分别延长AC到D，BC到E，使DC=AC，BC=EC，最后测出DE的距离即为AB的长。（II）如图（2），先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点，使BC=CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB的距离。阅读后回答下列问题：
（1）方案（I）是否可行？为什么？
（2）方案（II）是否切实可行？为什么？
（3）方案（II）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是；若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°，方案（II）是否成立？
（4）方案（II）中，若使BC=n·CD，能否测得（或求出）AB的长？理由是，若ED=m，则AB=。
．（本小题满分9分）如图，抛物线y=x2+bx+c经过A（－1，0），B（4，5）两点，请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为点D，对称轴所在的直线交x轴于点E，
连接AD，点F为AD的中点，求出线段EF的长。
注：抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=
，顶点坐标是
（
，
）。
（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C、P的坐标分别为（0，1）、（－1，0）、（1，0）、（－1，－1）。
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的表达式；
（2）以P为位似中心，将△ABC放大，使得放大后的△A1B1C1
与△OAB对应线段的比为3：1，请在右图网格中画出放大
后的△A1B1C1；（所画△A1B1C1与△ABC在点P同侧）；（3）经过A1、B1、C1三点的抛物线能否由（1）中的抛物线平
移得到？请说明理由。
（本小题满分9分）深圳大运会期间，某宾馆有若干间住房，住宿记录提供了如下信息：①7月20日全部住满，一天住宿费收入为3600元；②7月21日有10间房空着，一天住宿费收入为2800元；③该宾馆每间房每天收费标准相同。（1）求该宾馆共有多少间住房，每间住房每天收费多少元？
（2）通过市场调查发现，每个住房每天的定价每增加10元，就会有一个房间空闲
；己知该宾馆空闲房间每天每间费用10元，有游客居住房间每天每间再增加20元的其他费用，问房价定为多少元时，该宾馆一天的利润最大？