已知正项数列的前
项和为
,
是
与
的等比中项.
(1)求证:数列是等差数列;
(2)若,且
,求数列
的通项公式;
(3)在(2)的条件下,若,求数列
的前
项和
.
(本小题满分12分)已知函数.
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)当有最大值,且最大值大于
时,求
的取值范围.
(本小题满分12分)如图,轴,点
在
的延长线上,且
,当点
在圆
上运动时.
(Ⅰ)求点的轨迹
的方程;
(Ⅱ)过点作圆
的切线
交曲线
于
,
两点,求
面积
的最大值和相应的点
的坐标.
(本小题满分12分)正方形与梯形
所在平面互相垂直,
,点
在线段
上且不与
重合.
(Ⅰ)当点是
中点时,求证:
;
(Ⅱ)当平面与平面
所成锐二面角的余弦值为
时,求三棱锥
的体积.
(本小题满分12分)某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调 查结果如下表所示:
(Ⅰ)根据表中数据,问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;
(Ⅱ)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至多有1人喜欢甜品的概率.
附:.
(本小题满分12分)设数列的各项均为正数,它的前
项和为
,点
在函数
的图像上;数列
满足
,其中
.
(Ⅰ)求数列和
的通项公式;
(Ⅱ)设,求证:数列
的前
项和
.