已知正项数列
的前
项和为
，
是
与
的等比中项.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若
，且
，求数列
的通项公式；
（3）在（2）的条件下，若
，求数列
的前项和
.
（本小题满分12分）已知函数
．
（Ⅰ）讨论
的单调性；
（Ⅱ）当有最大值，且最大值大于
时，求
的取值范围．
（本小题满分12分）如图，
轴，点
在
的延长线上，且
，当点
在圆
上运动时．
（Ⅰ）求点的轨迹
的方程；
（Ⅱ）过点
作圆的切线
交曲线于
，
两点，求
面积
的最大值和相应的点
的坐标．
（本小题满分12分）正方形
与梯形
所在平面互相垂直，
，点
在线段
上且不与
重合．
（Ⅰ）当点是中点时，求证：
；
（Ⅱ）当平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
时，求三棱锥
的体积．
（本小题满分12分）某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调 查结果如下表所示：
（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；
（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．
附：
．
（本小题满分12分）设数列
的各项均为正数，它的前
项和为
，点
在函数
的图像上；数列
满足
，其中
．
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）设
，求证：数列
的前项和
．