如图，直线
为圆的切线，切点为
，点
在圆上，
的角平分线
交圆于点
，
垂直
交圆于点
。
（Ⅰ）证明：
；
（Ⅱ）设圆的半径为
，
，延长
交
于点
，求
外接圆的半径。
（本小题12分）
已知数列
满足：
，
，记
，
为数列
的前
项和.
⑴证明数列为等比数列，并求其通项公式；
⑵若对任意
且
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
⑶令
，证明：
.
（本小题12分）
设椭圆
右焦点为
，它与直线
相交于
、
两点，
与
轴的交点
到椭圆左准线的距离为
，若椭圆的焦距
是
与
的等差中项.
⑴求椭圆离心率
；
⑵设点
与点关于原点
对称，若以为圆心，为半径的圆与相切，且
求椭圆
的方程.
已知曲线
在点
处的切线方程为
,其中
(1)求
关于
的表达式;
(2)设
，求证:
;
（3）设
,其中
,求证:
已知
，
分别是双曲线
的左右焦点，以坐标原点
为圆心，以双曲线的半焦距
为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为
，与
轴正半轴的交点为
，点在轴上的射影为
，且
.
⑴求双曲线的离心率；
⑵若
交双曲线于点
，且
，求
.
已知函数
.
⑴求
的单调区间；
⑵若
，求证：
.