已知，其中、为常数，且，若为常数，则的值为.-优题课

双曲线的渐近线方程为．

如图，已知双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ ，曲线 $C_{2} : |y| = |x| + 1$ ， $P$ 是平面内一点，若存在过点 $P$ 的直线与 $C_{1}, C_{2}$ 都有公共点，则称 $P$ 为" $C_{1} - C_{2}$ 型点"

（1）在正确证明 $C_{1}$ 的左焦点是" $C_{1} - C_{2}$ 型点"时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
（2）设直线 $y = k x$ 与 $C_{2}$ 有公共点，求证 $|k| > 1$ ，进而证明原点不是" $C_{1} - C_{2}$ 型点"；
（3）求证：圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$ 内的点都不是" $C_{1} - C_{2}$ 型点"

已知正方形 $A B C D$ 的边长为1，记以 $A$ 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 $\vec{a_{1}}, \vec{a_{2}}, \vec{a_{3}}$ ；以 $C$ 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 $\vec{c_{1}}, \vec{c_{2}}, \vec{c_{3}}$ ，若 $i, j, k, 1 \in {1, 2, 3}$ ，且 $i \neq j, k \neq 1$ ，则 $(\vec{a_{i}} + \vec{a_{j}}) \cdot (\vec{c_{k}} + \vec{c_{1}})$ 的最小值是．

设常数 $a > 0$ ，若 $9 x + \frac{a^{2}}{x} \geq a + 1$ 对一切正实数 $x$ 立，则 $a$ 的取值范围为．

设 $A B$ 是椭圆 $Γ$ 的长轴，点 $C$ 在 $Γ$ 上，且 $∠ C B A = \frac{π}{4}$ ，若 $A B = 4, B C = \sqrt{2}$ ，则 $Γ$ 的两个焦点之间的距离为．