已知二次函数.
(1)若对任意、
,且
,都有
,求证:关于
的方程
有两个不相等的实数根且必有一个根属于
;
(2)若关于的方程
在
上的根为
,且
,设函数
的图象的对称轴方程为
,求证:
.
最近,某人准备将手中的10万块钱投资理财,现有二种方案:第一种方案:将10万块钱全部用来买股票,据分析预测:投资股市一年可能获利40%,也可能亏损20%(只有这两种可能),且获利的概率为.第二种方案:将10万块钱全部用来买基金,据分析预测:投资基金一年可能获利20%,也可能损失10%,也可能不赔不赚,且三种情况发生的概率分别为
.针对以上两种投资方案,请你为选择一种合理的理财方法,并说明理由.
某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况,随即在这两条流水线上各抽取件产品作为样本称出它们的重量(单位:克),重量值落在
的产品为合格品,否则为不合格品.图
是甲流水线样本的频率分布直方图,表
是乙流水线样本频数分布表.
(Ⅰ) 若以频率作为概率,试估计从甲流水线上任取件产品,求其中合格品的件数
的数学期望;
(Ⅱ)从乙流水线样本的不合格品中任意取件,求其中超过合格品重量的件数
的分布列;
(Ⅲ)由以上统计数据完成下面列联表,并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关” .
甲流水线 |
乙流水线 |
合计 |
|
合格品 |
![]() |
![]() |
|
不合格品 |
![]() |
![]() |
|
合 计 |
![]() |
![]() |
0.15 |
0.10 |
0.05 |
0.025 |
0.010 |
0.005 |
0.001 |
![]() |
2.072 |
2.706 |
3.841 |
5.024 |
6.635 |
7.879 |
10.828 |
附:下面的临界值表供参考:
(参考公式:,其中
)
已知函数
(Ⅰ)若曲线在点
处的切线的倾斜角为
,求实数
的值;
(Ⅱ)若函数在区间
上单调递增,求实数实数
的范围.
已知二项展开式中,第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8:3.(I)求n的值;(II)求展开式中
项的系数.
已知函数 ,
.
(Ⅰ)当 时,求函数
的最小值;
(Ⅱ)当时,讨论函数
的单调性;
(Ⅲ)是否存在实数,对任意的
,且
,有
恒成立,若存在求出的取值范围,若不存在,说明理由.