已知椭圆的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合，过点且-优题课

题文

已知椭圆的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合，过点且不垂直于轴直线与椭圆相交于、两点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求的取值范围.

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叙述并证明余弦定理．

设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(0, 4)$ ，离心率为 $\frac{3}{5}$ .
（Ⅰ）求 $C$ 的方程；
（Ⅱ）求过点 $(3, 0)$ 且斜率为 $\frac{4}{5}$ 的直线被 $C$ 所截线段的中点坐标．

如图,在 $∆ A B C$ 中, $∠ A B C = 45^{°}$ , $∠ B A C = 90^{°}$ , $A D$ 是 $B C$ 上的高,沿 $A D$ 把是 $B C$ 上的 $∆ A B D$ 折起,使 $∠ B D C = 90^{°}$ ．

（Ⅰ）证明：平面 $A D B ⊥$ 平面 $B D C$ ；
（Ⅱ）设 $B D = 1$ ，求三棱锥 $D - A B C$ 的表面积．

平面内与两定点 $A_{1} (- a, 0)$ ， $A_{2} (a, 0)$ （ $a > 0$ ）连线的斜率之积等于非零常数 $m$ 的点的轨迹，加上 $A_{1}, A_{2}$ 两点所成的曲线 $C$ 可以是圆、椭圆成双曲线．
（Ⅰ）求曲线 $C$ 的方程，并讨论 $C$ 的形状与 $m$ 值的关系；
（Ⅱ）当 $m$ =﹣1时，对应的曲线为 $C_{1}$ ；对给定的 $m$ ∈（﹣1，0）∪（0，+∞），对应的曲线为 $C_{2}$ ，设 $F_{1}, F_{2}$ 是 $C_{2}$ 的两个焦点．试问：在 $C_{1}$ 上，是否存在点 $N$ ，使得 $△ F_{1} N F_{2}$ 的面积 $S = |m| a^{2}$ ．若存在，求 $\tan F_{1} N F_{2}$ 的值；若不存在，请说明理由．

设函数 $f (x) = x^{3} + 2 a x^{2} + b x + a, g (x) = x^{2} - 3 x + 2$ ，其中 $x \in R$ ， $a, b$ 为常数，已知曲线 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 在点 $(2, 0)$ 处有相同的切线 $l$ ．
（Ⅰ）求 $a, b$ 的值，并写出切线 $l$ 的方程；
（Ⅱ）若方程 $f (x) + g (x) = m x$ 有三个互不相同的实根 $0, x_{1}, x_{2}$ ，其中 $x_{1} < x_{2}$ ，且对任意的 $x \in [x_{1}, x_{2}], f (x) + g (x) < m (x - 1)$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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