(15分)如图所示，质量、长的质量分布均匀的矩形薄板静止在水-优题课

如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角 $θ = 30 °$ 的斜面上，导轨电阻不计，间距 $L = 0.4 m$ ，导轨所在空间被分成区域I和II，两区域的边界与斜面的交线为 $M N$ ，I中的匀强磁场方向垂直斜面向下，II中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感应强度大小均为 $B = 0.5 T$ 。在区域I中，将质量 $m_{1} = 0.1 k g$ ，电阻 $R_{1} = 0.1 Ω$ 的金属条 $a b$ 放在导轨上， $a b$ 刚好不下滑。然后，在区域II中将质量 $m_{2} = 0.4 k g$ ，电阻 $R_{2} = 0.1 Ω$ 的光滑导体棒 $c d$ 置于导轨上，由静止开始下滑， $c d$ 在滑动过程中始终处于区域II的磁场中， $a b 、 c d$ 始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，取 $g = 10 m / s^{2}$

（1） $c d$ 下滑的过程中， $a b$ 中的电流方向；
（2） $a b$ 刚要向上滑动时， $c d$ 的速度 $v$ 多大？
（3）从 $c d$ 开始下滑到 $a b$ 刚要向上滑动的过程中， $c d$ 滑动的距离 $x = 3.8 m$ ，此过程中 $a b$ 上产生的热量 $Q$ 是多少？

如图所示，水平地面上静止放置一辆小车 $A$ ，质量 $m_{A} = 4 k g$ ，上表面光滑，小车与地面间的摩擦力极小，可以忽略不计。可视为质点的物块B置于 $A$ 的最右端， $B$ 的质量 $m_{B} = 2 k g$ 。现对 $A$ 施加一个水平向右的恒力 $F ＝ 10 N$ ， $A$ 运动一段时间后，小车左端固定的挡板 $B$ 发生碰撞，碰撞时间极短，碰后 $A$ 、 $B$ 粘合在一起，共同在F的作用下继续运动，碰撞后经时间 $t ＝ 0.6 s$ ，二者的速度达到 $v_{1} = 2 \frac{m}{s}$ 。求

（1） $A$ 开始运动时加速度 $a$ 的大小；

（2） $A$ 、 $B$ 碰撞后瞬间的共同速度 $v$ 的大小；

（3） $A$ 的上表面长度 $l$ 。

如图所示，水平放置的不带电的平行金属板 $p$ 和 $b$ 相距 $h$ ，与图示电路相连，金属板厚度不计，忽略边缘效应。 $p$ 板上表面光滑，涂有绝缘层，其上 $O$ 点右侧相距h处有小孔 $K$ ； $b$ 板上有小孔 $T$ ，且 $O$ 、 $T$ 在同一条竖直线上，图示平面为竖直平面。质量为 $m$ 、电荷量为 $- q$ （ $q > 0$ ）的静止粒子被发射装置（图中未画出）从 $O$ 点发射，沿 $P$ 板上表面运动时间 $t$ 后到达 $K$ 孔，不与板碰撞地进入两板之间。粒子视为质点，在图示平面内运动，电荷量保持不变，不计空气阻力，重力加速度大小为 $g$ 。

（1）求发射装置对粒子做的功；
（2）电路中的直流电源内阻为 $r$ ，开关 $S$ 接"1"位置时，进入板间的粒子落在 $h$ 板上的 $A$ 点， $A$ 点与过 $K$ 孔竖直线的距离为 $l$ 。此后将开关 $S$ 接"2"位置，求阻值为 $R$ 的电阻中的电流强度；
（3）若选用恰当直流电源，电路中开关 $S$ 接"l"位置，使进入板间的粒子受力平衡，此时在板间某区域加上方向垂直于图面的、磁感应强度大小合适的匀强磁场（磁感应强度 $B$ 只能在0～ $B_{m}$ = $\frac{(\sqrt{21} + 5) m}{(\sqrt{21} - 2) q t}$ 范围内选取），使粒子恰好从 $b$ 板的T孔飞出，求粒子飞出时速度方向与 $b$ 板板面夹角的所有可能值（可用反三角函数表示）。

在如图所示的竖直平面内。水平轨道 $C D$ 和倾斜轨道 $G H$ 与半径 $r = \frac{9}{44} m$ 的光滑圆弧轨道分别相切于 $D$ 点和 $G$ 点， $G H$ 与水平面的夹角 $θ$ = 37°。过 $G$ 点、垂直于纸面的竖直平面左侧有匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度 $B = 1.25 T$ ；过D点、垂直于纸面的竖直平面右侧有匀强电场，电场方向水平向右，电场强度 $E = 1 \times 10^{4} N / C$ 。小物体 $P_{1}$ 质量 $m$ = 2×10^-3kg、电荷量 $q$ = +8×10^-6C，受到水平向右的推力 $F = 9.98 \times 10^{- 3} N$ 的作用，沿 $C D$ 向右做匀速直线运动，到达 $D$ 点后撤去推力。当 $P_{1}$ 到达倾斜轨道底端 $G$ 点时，不带电的小物体 $P_{2}$ 在 $G H$ 顶端静止释放，经过时间 $t = 0.1 s$ 与 $P_{1}$ 相遇。 $P_{1} 和 P_{2}$ 与轨道 $C D 、 G H$ 间的动摩擦因数均为=" 0." 5，取 $g = 10 m / s^{2}$ ， $\sin$ 37° = 0.6， $\cos$ 37°= 0.8，物体电荷量保持不变，不计空气阻力。求：

（1）小物体 $P_{1}$ 在水平轨道 $C D$ 上运动速度 $v$ 的大小；
（2）倾斜轨道 $G H$ 的长度 $s$ 。

石墨烯是近些年发现的一种新材料，其超高强度及超强导电、导热等非凡的物理化学性质有望使21世纪的世界发生革命性的变化，其发现者由此获得2010年诺贝尔物理学奖。用石墨烯制作超级缆绳，人类搭建"太空电梯"的梦想有望在本世纪实现。科学家们设想，通过地球同步轨道站向地面垂下一条缆绳至赤道基站，电梯仓沿着这条缆绳运行，实现外太空和地球之间便捷的物资交换。

（1）若"太空电梯"将货物从赤道基站运到距地面高度为 $h_{1}$ 的同步轨道站，求轨道站内质量为 $m_{1}$ 的货物相对地心运动的动能。设地球自转角速度为 $ω$ ，地球半径为 $R$ 。
（2）当电梯仓停在距地面高度 $h_{2} = 4 R$ 的站点时，求仓内质量 $m_{2} = 50 k g$ 的人对水平地板的压力大小。取地面附近重力加速度 $g = 10 m / s^{2}$ ，地球自转角速度 $ω = 7.3 \times 10^{- 5} r a d / s$ ，地球半径 $R = 6.4 \times 10^{3} k m$ 。