直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（-优题课

直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），为直线与曲线的公共点. 以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求点的极坐标；
（Ⅱ）将曲线上所有点的纵坐标伸长为原来的倍（横坐标不变）后得到曲线，过点作直线，若直线被曲线截得的线段长为，求直线的极坐标方程.

科目数学题型解答题难度中等

设函数 $f (x) = a^{2} x^{2} + ax - 3 \ln x + 1$ ，其中 $a > 0$ .

（1）讨论 $f (x)$ 的单调性；

（2）若的图像与 $x$ 轴没有公共点，求a的取值范围.

已知直三棱柱 $ABC - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面为正方形， $AB = BC = 2$ ，E，F分别为 $AC$ 和 $C C_{1}$ 的中点， $BF ⊥ A_{1} B_{1}$ .

（1）求三棱锥 $F - EBC$ 的体积；

（2）已知D为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的点，证明： $BF ⊥ DE$ .

记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，已知 $a_{n} > 0, a_{2} = 3 a_{1}$ ，且数列 $\{\sqrt{S_{n}}\}$ 是等差数列，证明： $\{a_{n}\}$ 是等差数列.

甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?

（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?

附： $K^{2} = \frac{n (ad - bc)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

$P (K^{2} \geq k)$	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

已知函数 $f (x) = |x - 2|, g (x) = |2 x + 3| - |2 x - 1|$ ．

（1）画出和 $y = g (x)$ 的图像；

（2）若 $f (x + a) \geq g (x)$ ，求a的取值范围．