已知数列的前项和为，常数，且对一切正整数都成立。（Ⅰ）求数列-优题课

题文

已知数列的前项和为，常数，且对一切正整数都成立。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，，当为何值时，数列的前项和最大？

科目数学题型解答题难度中等

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在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C,$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ．已知 $\sin A + \sin C = p \sin B （ p \in R ）$ ,且 $a c = \frac{1}{4} b^{2}$ ．
（1）当 $p = \frac{5}{4} ， b = 1$ 时，求 $a, c$ 的值；
（2）若角 $B$ 为锐角，求 $p$ 的取值范围．

(1）已知函数 $f (x) = \ln x - x + 1, x \in (0, + \infty)$ ，求函数 $f (x)$ 的最大值；
(2）设 $a_{1}, b_{1} (k = 1, 2, \dots, n)$ 均为正数，证明：

①若 $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n} ⩽ b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n}$ ，则 ${a_{1}}^{b_{1}} {a_{2}}^{b_{2}} \dots {a_{n}}^{b_{n}} ⩽ 1$ ；

②若 $b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n} = 1$ ，则 $\frac{1}{n} ⩽ {b_{1}}^{b_{1}} {b_{2}}^{b_{2}} \dots {b_{n}}^{b_{n}} ⩽ {b_{1}}^{2} + {b_{2}}^{2} + \dots + {b_{n}}^{2}$

平面内与两定点 $A_{1} (- a, 0), A_{2} (a, 0) (a > 0)$ 连线的斜率之积等于非零常数 $m$ 的点的轨迹，加上 $A_{1}, A_{2}$ 两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线．
（1）求曲线 $C$ 的方程，并讨论 $C$ 的形状与 $m$ 值的关系；
（2）当 $m = - 1$ 时，对应的曲线为 $C_{1}$ ；对给定的 $m \in (- 1, 0) \cup (0, + \infty)$ 对应的曲线为 $C_{2}$ ，设 $F_{1}, F_{2}$ 是 $C_{2}$ 的两个焦点．试问：在 $C_{1}$ 上，是否存在点N，使得 $∆ F_{1} N F_{2}$ 的面积 $S = |m| a^{2}$ ．若存在，求 $\tan F_{1} N F_{2}$ 的值；若不存在，请说明理由．

已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足： $a_{1} = a (a \neq 0)$ ， $a_{n + 1} = r S_{n} (n \in N^{*}, r \in R, r \neq - 1)$ ．
（1）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（2）若存在 $k \in N^{*}$ ，使得 $S_{k + 1}, S_{k}, S_{k + 2}$ 成等差数列，试判断：对于任意的 $m \in N^{*}$ ，且 $m \geq 2$ ， $a_{m + 1}, a_{m}, a_{m + 2}$ 是否成等差数列，并证明你的结论．

如图，已知正三棱柱 $A B C = A_{1} B_{1} C_{1}$ 的各棱长都是4， $E$ 是 $B C$ 的中点，动点 $F$ 在侧棱 $C C_{1}$ 上，且不与点 $C$ 重合．
（1）当 $C F = 1$ 时，求证： $E F ⊥ A_{1} C$ ；
（2）设二面角 $C - A F - E$ 的大小为 $θ$ ，求 $\tan θ$ 的最小值．

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