分解下列因式：（1）.（2）.-优题课

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 与两坐标轴相交于点 $A (- 1, 0)$ 、 $B (3, 0)$ 、 $C (0, 3)$ ， $D$ 是抛物线的顶点， $E$ 是线段 $AB$ 的中点．

（1）求抛物线的解析式，并写出 $D$ 点的坐标；

（2） $F (x, y)$ 是抛物线上的动点：

①当 $x > 1$ ， $y > 0$ 时，求 $ΔBDF$ 的面积的最大值；

②当 $∠ AEF = ∠ DBE$ 时，求点 $F$ 的坐标．

如图， $C$ 、 $D$ 是以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 上的点， $\hat{AC} = \hat{BC}$ ，弦 $CD$ 交 $AB$ 于点 $E$ ．

（1）当 $PB$ 是 $⊙ O$ 的切线时，求证： $∠ PBD = ∠ DAB$ ；

（2）求证： $B C^{2} - C E^{2} = CE \cdot DE$ ；

（3）已知 $OA = 4$ ， $E$ 是半径 $OA$ 的中点，求线段 $DE$ 的长．

如图，已知四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 、 $BD$ 相交于点 $O$ ，且 $OA = OC$ ， $OB = OD$ ，过 $O$ 点作 $EF ⊥ BD$ ，分别交 $AD$ 、 $BC$ 于点 $E$ 、 $F$ ．

（1）求证： $ΔAOE ≅ ΔCOF$ ；

（2）判断四边形 $BEDF$ 的形状，并说明理由．

“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买 $A$ 、 $B$ 两种型号的垃圾处理设备共10台．已知每台 $A$ 型设备日处理能力为12吨；每台 $B$ 型设备日处理能力为15吨；购回的设备日处理能力不低于140吨．

（1）请你为该景区设计购买 $A$ 、 $B$ 两种设备的方案；

（2）已知每台 $A$ 型设备价格为3万元，每台 $B$ 型设备价格为4.4万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，则按9折优惠；问：采用（1）设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么？

如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼 $BC$ 高达 $452 m$ ，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼 $DE$ 高 $340 m$ ，为了测量高楼 $BC$ 上发射塔 $AB$ 的高度，在楼 $DE$ 底端 $D$ 点测得 $A$ 的仰角为 $α$ ， $\sin α = \frac{24}{25}$ ，在顶端 $E$ 点测得 $A$ 的仰角为 $45 °$ ，求发射塔 $AB$ 的高度．