已知函数
的定义域为区间
.
（1）求函数
的极大值与极小值；
（2）求函数的最大值与最小值.
（本小题满分13分）在平面直角坐标系
中，椭圆
过点
和点
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）已知点
在椭圆上，
为椭圆的左焦点，直线
的方程为
.
（i）求证：直线与椭圆有唯一的公共点；
（ii）若点关于直线的对称点为
，探索：当点
在椭圆上运动时，直线
是否过定点?若过定点，求出此定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
（本小题满分12分）已知在四棱锥
中，底面
是矩形，且
，
，
平面，
、
分别是线段
、
的中点.
（1）证明：
；
（2）判断并说明
上是否存在点
，使得
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
（本小题满分12分）某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示.已知两组技工在单位时间内加工的合格零件平均数都为
.
（1）分别求出
，
的值；
（2）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差
和
，并由此分析两组技工的加工水平；
（3）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人
加工的合格零件个数之和大于
，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率.
（注：方差
，其中
为数据
的平均数）.
（本小题满分12分）已知
为等比数列，其中
，且
成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设
，求数列
的前
项和
.
（本小题满分12分）已知向量
，
，函数
.
（1）求函数
的单调递增区间；
（2）在
中，角
的对边分别为
，若
，
，求
的面积.