如图，⊙O是△ACD的外接圆，AB是直径，过点D作直线DE∥-优题课

如图，⊙O是△ACD的外接圆，AB是直径，过点D作直线DE∥AB，过点B作直线BE∥AD，两直线交于点E，如果∠ACD=45°，⊙O的半径是4cm

（1）请判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求图中阴影部分的面积（结果用π表示）．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆幂定理

先化简，再求值： ${(x + 1)}^{2} - x (x + 1)$ ，其中 $x = 2$ ．

如图所示，二次函数 $y = a x^{2} + bx + c (a > 0)$ 的图象（记为抛物线 $Γ)$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ，与 $x$ 轴分别交于点 $A$ 、 $B$ ，点 $A$ 、 $B$ 的横坐标分别记为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $0 < x_{1} < x_{2}$ ．

（1）若 $a = c$ ， $b = - 3$ ，且过点 $(1, - 1)$ ，求该二次函数的表达式；

（2）若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + bx + c = 0$ 的判别式△ $= 4$ ．求证：当 $b < - \frac{5}{2}$ 时，二次函数 $y_{1} = a x^{2} + (b + 1) x + c$ 的图象与 $x$ 轴没有交点．

（3）若 $A B^{2} = \frac{c^{2} - 2 c + 6}{c}$ ，点 $P$ 的坐标为 $(- \sqrt{x_{0}}$ ， $- 1)$ ，过点 $P$ 作直线 $l$ 垂直于 $y$ 轴，且抛物线的 $Γ$ 的顶点在直线 $l$ 上，连接 $OP$ 、 $AP$ 、 $BP$ ， $PA$ 的延长线与抛物线 $Γ$ 交于点 $D$ ，若 $∠ OPB = ∠ DAB$ ，求 $x_{0}$ 的最小值．

如图所示， $ΔOAB$ 的顶点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象上，直线 $AB$ 交 $y$ 轴于点 $C$ ，且点 $C$ 的纵坐标为5，过点 $A$ 、 $B$ 分别作 $y$ 轴的垂线 $AE$ 、 $BF$ ，垂足分别为点 $E$ 、 $F$ ，且 $AE = 1$ ．

（1）若点 $E$ 为线段 $OC$ 的中点，求 $k$ 的值；

（2）若 $ΔOAB$ 为等腰直角三角形， $∠ AOB = 90 °$ ，其面积小于3．

①求证： $ΔOAE ≅ ΔBOF$ ；

②把 $| x_{1} - x_{2} | + | y_{1} - y_{2} |$ 称为 $M (x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $N (x_{2}$ ， $y_{2})$ 两点间的“ $ZJ$ 距离”，记为 $d (M, N)$ ，求 $d (A$ ， $C) + d (A$ ， $B)$ 的值．

$AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 是 $⊙ O$ 上一点，连接 $AC$ 、 $BC$ ，直线 $MN$ 过点 $C$ ，满足 $∠ BCM = ∠ BAC = α$ ．

（1）如图①，求证：直线 $MN$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）如图②，点 $D$ 在线段 $BC$ 上，过点 $D$ 作 $DH ⊥ MN$ 于点 $H$ ，直线 $DH$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ 、 $F$ ，连接 $AF$ 并延长交直线 $MN$ 于点 $G$ ，连接 $CE$ ，且 $CE = \frac{5}{3}$ ，若 $⊙ O$ 的半径为1， $\cos α = \frac{3}{4}$ ，求 $AG \cdot ED$ 的值．

如图所示， $ΔBEF$ 的顶点 $E$ 在正方形 $ABCD$ 对角线 $AC$ 的延长线上， $AE$ 与 $BF$ 交于点 $G$ ，连接 $AF$ 、 $CF$ ，满足 $ΔABF ≅ ΔCBE$ ．

（1）求证： $∠ EBF = 90 °$ ．

（2）若正方形 $ABCD$ 的边长为1， $CE = 2$ ，求 $\tan ∠ AFC$ 的值．

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