一位同学拿了两块45°三角尺△MNK，△ACB做了一个探究活-优题课

一位同学拿了两块45°三角尺△MNK，△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=4．

（1）如图（1），两三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为，
（2）将图（1）中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图（2），此时重叠部分的面积为，
（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图（1）和图（2）的图形，如图（3），请你求此时重叠部分的面积

科目数学题型解答题难度中等

知识点：对称式和轮换对称式

发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．

验证如， $（ 2 + 1 ）^{2} + （ 2 ﹣ 1 ）^{2} ＝ 10$ 为偶数．请把 $10$ 的一半表示为两个正整数的平方和；

探究设“发现”中的两个已知正整数为 $m ， n$ ，请论证“发现”中的结论正确．

某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历，能力、经验这三项进行了测试．各项满分均为 $10$ 分，成绩高者被录用．图1是甲、乙测试成绩的条形统计图，

（1）分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁；

（2）若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图（图2）各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，并判断是否会改变（1）的录用结果．

整式 $3 （ \frac{1}{3} - m ）$ 的值为 $P$ ．

（1）当 $m ＝ 2$ 时，求 $P$ 的值；

（2）若 $P$ 的取值范围如图所示，求 $m$ 的负整数值．

已知抛物线 $y ＝ ﹣ x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A （ ﹣ 1 ， 0 ）， B （ m ， 0 ）$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C （ 0 ， 5 ）$ ．

（1）求 $b ， c ， m$ 的值；

（2）如图1，点 $D$ 是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点 $D$ 在第一象限内，过点 $D$ 作 $x$ 轴的平行线交抛物线于点 $E$ ，作 $y$ 轴的平行线交 $x$ 轴于点 $G$ ，过点 $E$ 作 $E F ⊥ x$ 轴，垂足为点 $F$ ，当四边形 $D E F G$ 的周长最大时，求点 $D$ 的坐标；

（3）如图2，点 $M$ 是抛物线的顶点，将 $△ M B C$ 沿 $B C$ 翻折得到 $△ N B C$ ， $N B$ 与 $y$ 轴交于点 $Q$ ，在对称轴上找一点 $P$ ，使得 $△ P Q B$ 是以 $Q B$ 为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点 $P$ 的坐标．

如图，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $E$ 是 $⊙ O$ 上异于 $A ， B$ 的点，点 $F$ 是 $\hat{EB}$ 的中点，连接 $A E ， A F ， B F$ ，过点 $F$ 作 $F C ⊥ A E$ 交 $A E$ 的延长线于点 $C$ ，交 $A B$ 的延长线于点 $D$ ， $∠ A D C$ 的平分线 $D G$ 交 $A F$ 于点 $G$ ，交 $F B$ 于点 $H$ ．

（1）求证： $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）求 $\sin ∠ F H G$ 的值；

（3）若 $G H ＝ 4 \sqrt{2}$ ， $H B ＝ 2$ ，求 $⊙ O$ 的直径．

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