为椭圆
上任意一点，
、
为左右焦点．如图所示：
（1）若
的中点为
，求证
；
（2）若
，求
的值．
【2015高考重庆，理20】 设函数
（1）若
在
处取得极值，确定
的值，并求此时曲线
在点
处的切线方程；
（2）若在
上为减函数，求的取值范围。
【2015高考天津，理20（本小题满分14分）已知函数
，其中
．
（Ⅰ）讨论
的单调性；
（Ⅱ）设曲线
与
轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为
，求证：对于任意的正实数，都有
；
（Ⅲ）若关于的方程
有两个正实根
，求证： 
【2015高考安徽，理21】设函数
．
（Ⅰ）讨论函数
在
内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
（Ⅱ）记
，求函数
在
上的最大值D；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取
，求
满足
时的最大值．
【2015高考山东，理21】设函数
，其中
．
（Ⅰ）讨论函数
极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若
成立，求
的取值范围．
【2015江苏高考，17】（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为
，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2．5千米，以所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数
（其中a，b为常数）模型．
（1）求a，b的值；
（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．
①请写出公路l长度的函数解析式
，并写出其定义域；
②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．