设函数。（Ⅰ）若时，函数取得极值，求函数的图像在处的切线方程-优题课

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题文

设函数。
（Ⅰ）若时，函数取得极值，求函数的图像在处的切线方程；
（Ⅱ）若函数在区间内不单调，求实数的取值范围。

科目数学题型解答题难度较难

知识点：组合几何

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某中学调查了某班全部名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）

（1）从该班随机选名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；

（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的名同学中，有5名男同学 $A_{1,} A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5},$ 名女同学 $B_{1}, B_{2}, B_{3}$ 现从这名男同学和名女同学中各随机选人，求 $A_{1}$ 被选中且 $B_{1}$ 未被选中的概率.

设函数 $f (x) = \ln (x + 1) + a (x^{2} - x)$ ，其中 $a \in R$ .
（Ⅰ）讨论函数 $f (x)$ 极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若 $\forall x > 0, f (x) \geq 0$ 成立，求 $a$ 的取值范围.

平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，左、右焦点分别是 $F_{1}, F_{2}$ ，以 $F_{1}$ 为圆心以3为半径的圆与以 $F_{2}$ 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆 $C$ 上.
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；
（Ⅱ）设椭圆 $E : \frac{x^{2}}{4 a^{2}} + \frac{y^{2}}{4 b^{2}} = 1$ ， $P$ 为椭圆 $C$ 上任意一点，过点 $P$ 的直线 $y = k x + m$ 交椭圆 $E$ 于 $A, B$ 两点，射线 $P O$ 交椭圆 $E$ 于点 $Q$ .
（i）求 $\frac{|O Q|}{|O P|}$ 的值；
（Ⅱ）求 $△ A B Q$ 面积的最大值.

若 $n$ 是一个三位正整数，且 $n$ 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称 $n$ 为"三位递增数"（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的"三位递增数"中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的"三位递增数"的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分.
（Ⅰ）写出所有个位数字是5的"三位递增数" ；
（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分 $X$ 的分布列和数学期望 $E X$ .

设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .已知 $2 S_{n} = 3^{n} + 3$ .
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 ${b_{n}}$ 满足 $a_{n} b_{n} = \log_{3} a_{n}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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