已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC =∠BAD =,AB=BC=2AD=4,E、F分别是AB、CD上的点,EF∥BC,AE = x,G是BC的中点。沿EF将梯形ABCD翻折,使平面AEFD⊥平面EBCF (如图) .
(1) 当x=2时,求证:BD⊥EG ;
(2) 若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f(x),求f(x)的最大值;
(3) 当f(x)取得最大值时,求二面角D-BF-C的余弦值.
张先生家住H小区,他在C科技园区工作,从家开车到公司上班有L1,L2两条路线(如图),L1路线上有A1,A2,A3三个路口,各路口遇到红灯的概率均为;L2路线上有B1,B2两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为
,
.
(1)若走L1路线,求最多遇到1次红灯的概率;
(2)若走L2路线,求遇到红灯次数的数学期望;
(3)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求,请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线,并说明理由.
(本小题满分13分)
数列满足
.
(Ⅰ)计算,并由此猜想通项公式
;
(Ⅱ)用数学归纳法证明(Ⅰ)中的猜想.
(本小题满分13分)
某医院有7名医生(4男3女), 从7名医生中选3人组成医疗小组下乡巡诊.
(1)设所选3人中女医生的人数为,求
的分布列及数学期望;
(2)现已知4名男医生中张强已被选中,求3名女医生中李莉也被选中的概率.
(本小题满分13分)若的展开式的二项式系数和为128,
(1)求展开式中的常数项;
(2)求展开式中二项式系数最大的项;
(3)求的值.
(本小题满分13分)已知复数(
为实数,
为虚数单位)且
是纯虚数.
(1)求a的值,并求的共轭复数;
(2)求的值;
(3)在复平面内,分别对应向量
,求
的值.