如图，点O、B坐标分别为（0，0）（3，0），将△OAB绕O-优题课

如图， $D$ 是以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 上一点，过点 $D$ 的切线 $DE$ 交 $AB$ 的延长线于点 $E$ ，过点 $B$ 作 $BC ⊥ DE$ 交 $AD$ 的延长线于点 $C$ ，垂足为点 $F$ ．

（1）求证： $AB = BC$ ；

（2）若 $⊙ O$ 的直径 $AB$ 为9， $\sin A = \frac{1}{3}$ ．

①求线段 $BF$ 的长；

②求线段 $BE$ 的长．

如图，一次函数 $y_{1} = kx + b$ 的图象与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $A$ ， $B$ ，与反比例函数 $y_{2} = \frac{m}{x} (m > 0)$ 的图象交于点 $C (1, 2)$ ， $D (2, n)$ ．

（1）分别求出两个函数的解析式；

（2）连接 $OD$ ，求 $ΔBOD$ 的面积．

疫苗接种初期，为更好地响应国家对符合条件的人群接种新冠疫苗的号召，某市教育部门随机抽取了该市部分七、八、九年级教师，了解教师的疫苗接种情况，得到如下统计表：

（1）表中， $a =$ 　　， $b =$ 　　， $c =$ 　　；

（2）由表中数据可知，统计的教师中接种率最高的是　　年级教师；（填“七”或“八”或“九” $)$

（3）若该市初中七、八、九年级一共约有8000名教师，根据抽样结果估计未接种的教师约有　　人；

（4）为更好地响应号召，立德中学从最初接种的4名教师（其中七年级1名，八年级1名，九年级2名）中随机选取2名教师谈谈接种的感受，请用列表或画树状图的方法，求选中的两名教师恰好不在同一年级的概率．

如图，在菱形 $ABCD$ 中， $E$ ， $F$ 是对角线 $AC$ 上的两点，且 $AE = CF$ ．

（1）求证： $ΔABE ≅ ΔCDF$ ；

（2）证明四边形 $BEDF$ 是菱形．

先化简，再求值： $(1 + \frac{1}{x + 1}) \div \frac{x^{2} - 4}{2 x + 2}$ ，其中 $x = 1$ ．