（本小题满分14分）如图，平面平面，四边形为矩形，△为等边三-优题课

已知函数 $f (x) = e^{x} + a x^{2} - e x, a \in R$ .
（Ⅰ）若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线平行于 $x$ 轴，求函数 $f (x)$ 的单调区间；
（Ⅱ）试确定 $a$ 的取值范围，使得曲线 $y = f (x)$ 上存在唯一的点 $P$ ，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点 $P$ .

如图，椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，右焦点为 $F_{2}$ ，离心率 $e = \frac{1}{2}$ 。过 $F_{1}$ 的直线交椭圆于 $A, B$ 两点，且 $△ A B F_{2}$ 的周长为8

（Ⅰ）求椭圆 $E$ 的方程。
（Ⅱ）设动直线 $l$ ： $y = k x + m$ 与椭圆 $E$ 有且只有一个公共点 $P$ ，且与直线 $x = 4$ 相较于点 $Q$ 。试探究：在坐标平面内是否存在定点 $M$ ，使得以 $P Q$ 为直径的圆恒过点 $M$ ？若存在，求出点 $M$ 的坐标；若不存在，说明理由

如图,在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中 $A A_{1} = A D = 1$ , $E$ 为 $C D$ 中点.

（Ⅰ）求证: $B_{1} E ⊥ A D_{1}$ ；
（Ⅱ）在棱 $A A_{1}$ 上是否存在一点 $P$ ,使得 $D P ∥$ 平面 $B_{1} A E$ ？若存在,求 $A P$ 的长；若不存在,说明理由.
（Ⅲ）若二面角 $A - B_{1} E A_{1}$ 的大小为 $30^{°}$ ,求 $A B$ 的长.

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。
（1） $\sin^{2} 13^{°} + \cos^{2} 17^{°} - \sin 13^{°} \cos 17^{°}$

（2） $\sin^{2} 15^{°} + \cos^{2} 15^{°} - \sin 15^{°} \cos 15^{°}$

（3） $\sin^{2} 18^{°} + \cos^{2} 12^{°} - \sin 18^{°} \cos 12^{°}$

（4） $\sin^{2} (- 18^{°}) + \cos^{2} 48^{°} - \sin^{2} (- 18^{°}) \cos^{2} 48^{°}$

（5） $\sin^{2} (- 25^{°}) + \cos^{2} 55 ° - \sin^{2} (- 25^{°}) \cos^{2} 55^{°}$

(Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数.
(Ⅱ)根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论.

受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下：

品牌	甲	乙
首次出现故障时间 $x$ （年）	$0 < x < 1$	$1 < x \leq 2$	$x > 2$	$0 < x \leq 2$	$x > 2$
轿车数量（辆）	2	3	45	5	45
每辆利润（万元）	1	2	3	1.8	2.9

将频率视为概率，解答下列问题：

（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
(II)若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为 $X_{1}$ ，生产一辆乙品牌轿车的利润为 $X_{2}$ ，分别求 $X_{1}$ ， $X_{2}$ 的分布列；
（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由