解方程-优题课

某校为了了解全校学生线上学习情况，随机选取该校部分学生，调查学生居家学习时每天学习时间（包括线上听课及完成作业时间）．如图是根据调查结果绘制的统计图表．请你根据图表中的信息完成下列问题：

频数分布表

学习时间分组	频数	频率
$A$ 组 $(0 ⩽ x < 1)$	9	$m$
$B$ 组 $(1 ⩽ x < 2)$	18	0.3
$C$ 组 $(2 ⩽ x < 3)$	18	0.3
$D$ 组 $(3 ⩽ x < 4)$	$n$	0.2
$E$ 组 $(4 ⩽ x < 5)$	3	0.05

（1）频数分布表中 $m =$ 　　， $n =$ 　　，并将频数分布直方图补充完整；

（2）若该校有学生1000名，现要对每天学习时间低于2小时的学生进行提醒，根据调查结果，估计全校需要提醒的学生有多少名？

（3）已知调查的 $E$ 组学生中有2名男生1名女生，老师随机从中选取2名学生进一步了解学生居家学习情况．请用树状图或列表求所选2名学生恰为一男生一女生的概率．

如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$ ，点 $M$ ， $N$ 分别为 $OA$ 、 $OC$ 的中点，延长 $BM$ 至点 $E$ ，使 $EM = BM$ ，连接 $DE$ ．

（1）求证： $ΔAMB ≅ ΔCND$ ；

（2）若 $BD = 2 AB$ ，且 $AB = 5$ ， $DN = 4$ ，求四边形 $DEMN$ 的面积．

先化简 $\frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{2} - 1} \div \frac{x^{2} - 2 x}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}$ ，再从 $- 2$ ． $- 1$ ，0，1，2中选一个合适的数作为 $x$ 的值代入求值．

如图，抛物线 $y = a x^{2} + \frac{9}{4} x + c$ 经过点 $A (- 1, 0)$ 和点 $C (0, 3)$ 与 $x$ 轴的另一交点为点 $B$ ，点 $M$ 是直线 $BC$ 上一动点，过点 $M$ 作 $MP / / y$ 轴，交抛物线于点 $P$ ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在一点 $Q$ ，使得 $ΔQCO$ 是等边三角形？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）以 $M$ 为圆心， $MP$ 为半径作 $⊙ M$ ，当 $⊙ M$ 与坐标轴相切时，求出 $⊙ M$ 的半径．

如图，在边长为4的正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 为对角线 $AC$ 上一动点（点 $E$ 与点 $A$ 、 $C$ 不重合），连接 $DE$ ，作 $EF ⊥ DE$ 交射线 $BA$ 于点 $F$ ，过点 $E$ 作 $MN / / BC$ 分别交 $CD$ 、 $AB$ 于点 $M$ 、 $N$ ，作射线 $DF$ 交射线 $CA$ 于点 $G$ ．

（1）求证： $EF = DE$ ；

（2）当 $AF = 2$ 时，求 $GE$ 的长．