已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点-优题课

已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点为抛物线x²＝4y的焦点．
(1)求椭圆方程；
(2)若直线y＝x－1与抛物线相切于点A，求以A为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程；
(3)若斜率为1的直线交椭圆于M、N两点，求△OMN面积的最大值(O为坐标原点)．

科目数学题型解答题难度困难

（本小题满分8分）设函数．
（1）当时，解关于的不等式；
（2）如果，，求的取值范围．

已知各项均为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和满足 $S_{1} > 1$ ,且 $6 S_{n} = (a_{n} + 1) (a_{n} + 2), n \in N^{*}$ .

（1）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式;
（2）设数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{n} (2^{b_{n}} - 1) = 1$ ,并记 $T_{n}$ 为 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和,求证: $3 T_{n} + 1 > \log_{2} (a_{n} + 3), n \in N^{*}$ .

已知函数 $f (x) = a x^{4} \ln x + b x^{4} - c (x ＞ 0)$ 在 $x = 1$ 处取得极值 $- 3 - c$ ，其中 $a, b, c$ 为常数。
（1）试确定 $a, b$ 的值；
（2）讨论函数 $f (x)$ 的单调区间；
（3）若对任意 $x > 0$ ，不等式 $f (x) \geq - 2 c^{2}$ 恒成立，求 $c$ 的取值范围.

如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 2, A B = 1, ∠ A B C = 90^{°}$ ；点 $D, E$ 分别在 $B B_{1}, A_{1} D$ 上，且 $B_{1} E ⊥ A_{1} D$ ，四棱锥 $C - A B D A_{1}$ 与直三棱柱的体积之比为3：5.

（1）求异面直线 $D E$ 与 $B_{1} C_{1}$ 的距离；
（2）若 $B C = \sqrt{2}$ ，求二面角 $A_{1} - D C_{1} - B_{1}$ 的平面角的正切值.

某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金.对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）.设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为 $\frac{1}{9}, \frac{1}{10}, \frac{1}{11}$ ,且各车是否发生事故相互独立,求一年内该单位在此保险中：
（1）获赔的概率；
（2）获赔金额 $ξ$ 的分布列与期望.

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