如图，在中，,的垂直平分线交于点，交于点，点在上，且．⑴求证-优题课

如图，在中，,的垂直平分线交于点，交于点，点在上，且．

⑴求证：四边形是平行四边形.
⑵当满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆内接四边形的性质

为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？

如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的 $12 \times 12$ 的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段 $AB$ ．

（1）将线段 $AB$ 向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到线段 $CD$ ，请画出线段 $CD$ ．

（2）以线段 $CD$ 为一边，作一个菱形 $CDEF$ ，且点 $E$ ， $F$ 也为格点．（作出一个菱形即可）

在 $ΔABC$ 中， $D$ ， $E$ 分别是 $ΔABC$ 两边的中点，如果 $\hat{DE}$ 上的所有点都在 $ΔABC$ 的内部或边上，则称 $\hat{DE}$ 为 $ΔABC$ 的中内弧．例如，图1中 $\hat{DE}$ 是 $ΔABC$ 的一条中内弧．

（1）如图2，在 $Rt Δ ABC$ 中， $AB = AC = 2 \sqrt{2}$ ， $D$ ， $E$ 分别是 $AB$ ， $AC$ 的中点，画出 $ΔABC$ 的最长的中内弧 $\hat{DE}$ ，并直接写出此时 $\hat{DE}$ 的长；

（2）在平面直角坐标系中，已知点 $A (0, 2)$ ， $B (0, 0)$ ， $C (4 t$ ， $0) (t > 0)$ ，在 $ΔABC$ 中， $D$ ， $E$ 分别是 $AB$ ， $AC$ 的中点．

①若 $t = \frac{1}{2}$ ，求 $ΔABC$ 的中内弧 $\hat{DE}$ 所在圆的圆心 $P$ 的纵坐标的取值范围；

②若在 $ΔABC$ 中存在一条中内弧 $\hat{DE}$ ，使得 $\hat{DE}$ 所在圆的圆心 $P$ 在 $ΔABC$ 的内部或边上，直接写出 $t$ 的取值范围．

已知 $∠ AOB = 30 °$ ， $H$ 为射线 $OA$ 上一定点， $OH = \sqrt{3} + 1$ ， $P$ 为射线 $OB$ 上一点， $M$ 为线段 $OH$ 上一动点，连接 $PM$ ，满足 $∠ OMP$ 为钝角，以点 $P$ 为中心，将线段 $PM$ 顺时针旋转 $150 °$ ，得到线段 $PN$ ，连接 $ON$ ．

（1）依题意补全图1；

（2）求证： $∠ OMP = ∠ OPN$ ；

（3）点 $M$ 关于点 $H$ 的对称点为 $Q$ ，连接 $QP$ ．写出一个 $OP$ 的值，使得对于任意的点 $M$ 总有 $ON = QP$ ，并证明．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + bx - \frac{1}{a}$ 与 $y$ 轴交于点 $A$ ，将点 $A$ 向右平移2个单位长度，得到点 $B$ ，点 $B$ 在抛物线上．

（1）求点 $B$ 的坐标（用含 $a$ 的式子表示）；

（2）求抛物线的对称轴；

（3）已知点 $P (\frac{1}{2}$ ， $- \frac{1}{a})$ ， $Q (2, 2)$ ．若抛物线与线段 $PQ$ 恰有一个公共点，结合函数图象，求 $a$ 的取值范围．

试卷网试题网古诗词网作文网范文网