在$\mathit{\Delta ABC}$中，$D$，$E$分别是$\mathit{\Delta ABC}$两边的中点，如果$\widehat{\mathit{DE}}$上的所有点都在$\mathit{\Delta ABC}$的内部或边上，则称$\widehat{\mathit{DE}}$为$\mathit{\Delta ABC}$的中内弧．例如，图1中$\widehat{\mathit{DE}}$是$\mathit{\Delta ABC}$的一条中内弧．

（1）如图2，在$\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中，$\mathit{AB}=\mathit{AC}=2\sqrt{2}$，$D$，$E$分别是$\mathit{AB}$，$\mathit{AC}$的中点，画出$\mathit{\Delta ABC}$的最长的中内弧$\widehat{\mathit{DE}}$，并直接写出此时$\widehat{\mathit{DE}}$的长；

（2）在平面直角坐标系中，已知点$A(0,2)$，$B(0,0)$，$C(4t$，$0\left)\right(t>0)$，在$\mathit{\Delta ABC}$中，$D$，$E$分别是$\mathit{AB}$，$\mathit{AC}$的中点．

①若$t=\frac{1}{2}$，求$\mathit{\Delta ABC}$的中内弧$\widehat{\mathit{DE}}$所在圆的圆心$P$的纵坐标的取值范围；

②若在$\mathit{\Delta ABC}$中存在一条中内弧$\widehat{\mathit{DE}}$，使得$\widehat{\mathit{DE}}$所在圆的圆心$P$在$\mathit{\Delta ABC}$的内部或边上，直接写出$t$的取值范围．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 解直角三角形 弧长的计算 圆的综合题