如图，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，M-优题课

如图，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，M为CD的中点.

（1）求点M的轨迹方程；
（2）过M作AB的垂线，垂足为N，若存在正常数，使，且P点到A、B 的距离和为定值，求点P的轨迹E的方程；
（3）过的直线与轨迹E交于P、Q两点，求面积的最大值．

科目数学题型解答题难度较难

设 $f (x) = \sin x \cos x - \cos^{2} (x + \frac{π}{4})$ .
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的单调区间；
（Ⅱ）在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ,若 $f (\frac{A}{2}) = 0, a = 1$ ,求 $△ A B C$ 面积的最大值.

函数 $f (x) = a e^{2} \cos x, (x \in [0, + \infty])$ ，记 $x_{n}$ 为 $f (x)$ 的从小到大的第 $n (n \in N^{*})$ 个极值点。
（Ⅰ）证明：数列 ${f (x_{n})}$ 是等比数列；
（Ⅱ）若对一切 $n \in N^{*}, x_{n} \leq |f (x_{n})|$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围。

已知抛物线 $C_{1} : x^{2} = 4 y$ 的焦点 $F$ 也是椭圆 $C_{2} : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 1)$ 的一个焦点， $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公共弦长为 $2 \sqrt{6}$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C_{1}$ 相交于 $A, B$ 两点，与 $C_{2}$ 相交于 $C, D$

$\overset{⇀}{A C}$ 与 $\overset{⇀}{B D}$ 同向.

（Ⅰ）求 $C_{2}$ 的方程；
（Ⅱ）若 $|A C| = |B D|$ ，求直线 $l$ 的斜率.

设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = 1, a_{2} = 2$ ，且 $a_{n + 1} = 3 S_{n}$ $- S_{n - 1} + 3 (n \in N^{+})$ ，
（Ⅰ）证明： $a_{n + 2} = 3 a_{n}$ ；
（Ⅱ）求 $S_{n}$ 。

如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是边长为2的正三角形， $E, F$ 分别是 $B C, C C_{1}$ 的中点。

（Ⅰ）证明：平面 $A E F ⊥$ 平面 $B_{1} B C C_{1}$ ；
（Ⅱ）若直线 $A_{1} C$ 与平面 $A_{1} A B B_{1}$ 所成的角为 $45 °$ ，求三棱锥 $F - A E C$ 的体积。

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