已知△ABC的内角为A、B、C，其对边分别为a、b、c，B为-优题课

已知△ABC的内角为A、B、C，其对边分别为a、b、c，B为锐角，向量m＝(2sin B，－)，n＝，且m∥n
(1)求角B的大小；
(2)如果b＝2，求S_△_ABC的最大值．

科目数学题型解答题难度中等

已知函数 $f (x) = a x \sin x - \frac{3}{2} (a \in R)$ 且在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值为 $\frac{π - 3}{2}$ ，
(1)求函数 $f (x)$ 的解析式；
(2)判断函数 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 内的零点个数，并加以证明

如图，等边三角形 $O A B$ 的边长为 $8 \sqrt{3}$ ，且其三个顶点均在抛物线 $E : x^{2} = 2 p y （ p ＞ 0 ）$ 上。

（1）求抛物线 $E$ 的方程；
（2）设动直线 $l$ 与抛物线 $E$ 相切于点 $P$ ，与直线 $y = - 1$ 相交于点 $Q$ ，证明以 $P Q$ 为直径的圆恒过 $y$ 轴上某定点.

$\sin^{2} (- 25^{°}) + \cos^{2} 55^{°} - \sin (- 25^{°}) \cos 55^{°}$ 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.
（1） $\sin^{2} 13^{°} + \cos^{2} 17^{°} - \sin 13^{°} \cos 17^{°}$

（2） $\sin^{2} 15^{°} + \cos^{2} 15^{°} - \sin 15^{°} \cos 15^{°}$

（3） $s i n^{2} 18^{°} + c o s^{2} 12^{°} - s i n 18^{°} c o s 12^{°}$

（4） $\sin^{2} (- 18^{°}) + \cos^{2} 48^{°} - \sin (- 18^{°}) \cos 48^{°}$

（5） $\sin^{2} (- 25^{°}) + \cos^{2} 55^{°} - \sin (- 25^{°}) \cos 55^{°}$

(Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数
(Ⅱ)根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.

如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ， $M$ 为棱 $D D_{1}$ 上的一点。

Ⅰ求三棱锥 $A - M C C_{1}$ 的体积；

Ⅱ当 $A_{1} M + M C$ 取得最小值时，求证： $B_{1} M ⊥$ 平面 $M A C$ .

某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

单价x（元）	8	8.2	8.4	8.6	8.8	9
销量y（件）	90	84	83	80	75	68

（I）求回归直线方程 $\overset{⏜}{y}$ $= b x + a$ ，其中 $a = - 20$ ， $a = \overset{⏜}{y} - b x$ ；

（II）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利 $∵ x = \frac{1}{6} (x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} + x_{6}) = 8.5$ 润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）

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