某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
，其中
是仪器的月产量．
(注：总收益＝总成本＋利润)
（1）将利润
表示为月产量的函数；
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？
(本小题满分12分)
已知椭圆
的焦点在
轴上，离心率为
，对称轴为坐标轴，且经过点
．
（I）求椭圆的方程；
（II）直线
与椭圆相交于
、
两点， 
为原点，在
、
上分别存在异于点的点
、
，使得在以
为直径的圆外，求直线斜率
的取值范围．
（本小题满分12分）如图
，已知在四棱锥
中，底面
是矩形，
平面，
，
，
是
的中点， 
是线段
上的点．
（I）当是的中点时，求证：
平面
；
（II）要使二面角
的大小为
，试确定点的位置．
（本小题满分12分）为了参加
年贵州省高中篮球比赛，某中学决定从四个篮球较强的班级中选出
人组成男子篮球队代表所在地区参赛，队员来源人数如下表：
| 班级 |
高三（ ）班 |
高三（ ）班 |
高二（ ）班 |
高二（ ）班 |
| 人数 |
 |
 |
 |
|
（I）从这名队员中随机选出两名，求两人来自同一班级的概率；（II）该中学篮球队经过奋力拼搏获得冠军．若要求选出两位队员代表冠军队发言，设其中来自高三（7）班的人数为
，求随机变量的分布列及数学期望
．
（本小题满分12分）已知
，
，且
．
（I）将
表示成
的函数
，并求的最小正周期；
（II）记的最大值为
，
、
、
分别为
的三个内角
、
、
对应的边长，若
且
，求
的最大值．
（本小题满分14分）
已知数列
中的各项均为正数，且满足
.记
，数列
的前
项和为
，且
.
(1)证明
是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求证：
.