一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需400元，火车的最高速度为100 km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？
已知函数
，
.
（1）函数的零点从小到大排列，记为数列
，求的前
项和
；
（2）若
在
上恒成立，求实数
的取值范围；
（3）设点
是函数
与
图象的交点，若直线
同时与函数，的图象相切于点，且
函数，的图象位于直线的两侧，则称直线为函数，的分切线.
探究：是否存在实数，使得函数
与
存在分切线？若存在，求出实数的值，并写出分切线方程；若不存在，请说明理由．
自驾游从A地到B地有甲乙两条线路，甲线路是A-C-D-B，乙线路是A-E-F-G-H-B，其中CD段，EF段，GH段都是易堵车路段．假设这三条路段堵车与否相互独立．这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表所示．
| CD段 |
EF段 |
GH段 |
|
| 堵车概率 |
 |
 |
 |
| 平均堵车时间 (单位：小时) |
 |
2 |
1 |
经调查发现，堵车概率在
上变化，在
上变化．
在不堵车的情况下，走甲线路需汽油费500元，走乙线路需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路政局为了估计
段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到下表数据．
| 堵车时间（单位：小时） |
频数 |
| [0,1] |
8 |
| (1, 2] |
6 |
| (2, 3] |
38 |
| (3, 4] |
24 |
| (4, 5] |
24 |
（1）求段平均堵车时间的值；
（2）若只考虑所花汽油费的期望值大小，为了节约，求选择走甲线路的概率．
已知圆
经过椭圆
的右焦点
和上顶点
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）过原点
的射线
与椭圆在第一象限的交点为
，与圆
的交点为
，
为
的中点，求
的最大值.
如图1，直角梯形
中，
，
，
，点
为线段
上异于
的点，且
，沿
将面
折起，使平面
平面
，如图2.
（1）求证：
平面
；
（2）当三棱锥
体积最大时，求平面
与平面所成的锐二面角的余弦值.
已知函数
.
（1）求函数
的单调递增区间；
（2）若
是
的三个内角，且
，
，又
，求
边的长．