先化简，再求值：，其中．-优题课

为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课，按照类别分为： $A$ "剪纸"、 $B$ "沙画"、 $C$ "葫芦雕刻"、 $D$ "泥塑"、 $E$ "插花"．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．

根据以上信息，回答下列问题：

（1）本次调查的样本容量为　　；统计图中的 $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（2）通过计算补全条形统计图；

（3）该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱"葫芦雕刻"的学生人数．

解不等式组 $\{\begin{matrix} \frac{1}{2} x + 1 < 7 - \frac{3}{2} x, \\ \frac{3 x - 2}{3} ⩾ \frac{x}{3} + \frac{x - 4}{4}, \end{matrix}$ 并写出它的所有整数解．

如图，在菱形 $ABCD$ 中， $AB = AC$ ，点 $E$ ， $F$ ， $G$ 分别在边 $BC$ ， $CD$ 上， $BE = CG$ ， $AF$ 平分 $∠ EAG$ ，点 $H$ 是线段 $AF$ 上一动点（与点 $A$ 不重合）．

（1）求证： $ΔAEH ≅ ΔAGH$ ；

（2）当 $AB = 12$ ， $BE = 4$ 时．

求 $ΔDGH$ 周长的最小值；

②若点 $O$ 是 $AC$ 的中点，是否存在直线 $OH$ 将 $ΔACE$ 分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为 $1 : 3$ ．若存在，请求出 $\frac{AH}{AF}$ 的值；若不存在，请说明理由．

我们把方程 ${(x - m)}^{2} + {(y - n)}^{2} = r^{2}$ 称为圆心为 $(m, n)$ 、半径长为 $r$ 的圆的标准方程．例如，圆心为 $(1, - 2)$ 、半径长为3的圆的标准方程是 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 9$ ．在平面直角坐标系中， $⊙ C$ 与轴交于点 $A$ ， $B$ ，且点 $B$ 的坐标为 $(8, 0)$ ，与 $y$ 轴相切于点 $D (0, 4)$ ，过点 $A$ ， $B$ ， $D$ 的抛物线的顶点为 $E$ ．

（1）求 $⊙ C$ 的标准方程；

（2）试判断直线 $AE$ 与 $⊙ C$ 的位置关系，并说明理由．

为加快复工复产，某企业需运输一批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱．

（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资；

（2）计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少．最少费用是多少？