已知直线l经过点(1，0)且一个方向向量d＝(1，1)．椭圆-优题课

已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （ a ＞ b ＞ 0 ）$ 的左焦点为 $F （﹣ c ， 0 ）$ ，右顶点为A，点E的坐标为（0，c）， $△ EFA$ 的面积为 $\frac{b^{2}}{2}$ ．

（I）求椭圆的离心率；

（II）设点Q在线段AE上， $| FQ | = \frac{3}{2} c$ ，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上， $PM ∥ QN$ ，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．

（i）求直线FP的斜率；

（ii）求椭圆的方程．

设a， $b \in R$ ， $| a | \leq 1$ ．已知函数 $f （ x ） = x^{3} ﹣ 6 x^{2} ﹣ 3 a （ a ﹣ 4 ） x + b$ ， $g （ x ） = e^{x} f （ x ）$ ．

（Ⅰ）求 $f （ x ）$ 的单调区间；

（Ⅱ）已知函数 $y = g （ x ）$ 和 $y = e^{x}$ 的图象在公共点 $（ x_{0} ， y_{0} ）$ 处有相同的切线，

（i）求证： $f （ x ）在 x = x_{0}$ 处的导数等于0；

（ii）若关于x的不等式 $g （ x ） \leq e^{x}$ 在区间 $[x_{0} ﹣ 1 ， x_{0} + 1]$ 上恒成立，求b的取值范围．

已知 ${a_{n}}$ 为等差数列，前 $n$ 项和为 $S_{n} （ n \in N^{*} ）$ ， ${b_{n}}$ 是首项为2的等比数列，且公比大于0， $b_{2} + b_{3} = 12$ ， $b_{3} = a_{4} ﹣ 2 a_{1}$ ， $S_{11} = 11 b_{4}$ ．

（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）求数列 ${a_{2 n} b_{2 n - 1}}$ 的前n项和 $（ n \in N^{*} ）$ ．

如图，在四棱锥 $P ﹣ ABCD$ 中， $AD ⊥$ 平面 $PDC$ ， $AD ∥ BC$ ， $PD ⊥ PB$ ， $AD = 1$ ， $BC = 3$ ， $CD = 4$ ， $PD = 2$ ．

（I）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；

（II）求证： $PD ⊥ 平面 P B C$ ；

（II）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．

电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：

	连续剧播放时长（分钟）	广告播放时长（分钟）	收视人次（万）
甲	70	5	60
乙	60	5	25

已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．

（I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？