在数列
中，
.从数列中选出
项并按原顺序组成的新数列记为
，并称为数列的
项子列.例如数列
、
、
、
为的一个
项子列.
（1）试写出数列的一个
项子列，并使其为等比数列；
（2）如果为数列的一个
项子列，且为等差数列，证明：的公差
满足
；
（3）如果
为数列的一个
项子列，且为等比数列，证明：
.
为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了
位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为
，得到如题（16）图所示的频率分布直方图。已知生产的产品数量在
之间的工人有6位.
（1）求；
（2）工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机的选取2位工人进行培训，求这2位工人不在同一组的概率.
如图所示的两个同心圆盘均被
等分（
且
），在相重叠的扇形格中依次同时填上
，内圆盘可绕圆心旋转，每次可旋转一个扇形格，当内圆盘旋转到某一位置时，定义所有重叠扇形格中两数之积的和为此位置的“旋转和”.
（1）求个不同位置的“旋转和”的和；
（2）当为偶数时，求个不同位置的“旋转和”的最小值；
（3）设
，在如图所示的初始位置将任意
对重叠的扇形格中的两数均改写为0，证明：当
时，通过旋转，总存在一个位置，任意重叠的扇形格中两数不同时为0.
已知椭圆
和椭圆
的离心率相同，且点
在椭圆
上.
（1）求椭圆的方程；
（2）设
为椭圆
上一点，过点作直线交椭圆于
、
两点，且恰为弦
的中点。求证：无论点怎样变化，
的面积为常数，并求出此常数.
已知函数
.
（1）设函数
，当
时，讨论
的单调性；
（2）若函数
在
处取得极小值，求
的取值范围.
如图，直三棱柱
中，
，
为
中点，
上一点，且
.
（1）当
时，求证：
平面
；
（2）若直线
与平面
所成的角为
，求
的值.