在中，（1）求的值；（2）求的面积.-优题课

在中，
（1）求的值；
（2）求的面积.

科目数学题型解答题难度较难

知识点：西姆松定理

如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} C_{1} C$ 是边长为4的正方形.平面 $A B C ⊥$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ， $A B = 3, B C = 5$ .

（Ⅰ）求证： $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ；
（Ⅱ）求二面角 $A_{1} - B C_{1} - B_{1}$ 的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段 $B C_{1}$ 存在点 $D$ ，使得 $A D ⊥ A_{1} B$ ，并求 $\frac{B D}{B C_{1}}$ 的值.

下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天

（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率
（Ⅱ）设 $X$ 是此人停留期间空气质量优良的天数，求 $X$ 的分布列与数学期望.
（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

在 $∆ A B C$ 中, $a = 3, b = 2 \sqrt{6}, ∠ B = 2 ∠ A$ .
(I)求 $\cos A$ 的值，
(II)求 $c$ 的值

设不等式 $|x - 2| < a (a \in N^{*^{}})$ 的解集为A,且 $\frac{3}{2} \in A, \frac{1}{2} \notin A$ .

（Ⅰ）求 $a$ 的值

（Ⅱ）求函数 $f (x) = |x + a| + |x - 2|$ 的最小值

在直角坐标系中，以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点 $A$ 的极坐标为 $(\sqrt{2}, \frac{π}{4})$ ，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ \cos (θ - \frac{π}{4}) = a$ ，且点 $A$ 在直线 $l$ 上。
（Ⅰ）求 $a$ 的值及直线 $l$ 的直角坐标方程；
（Ⅱ）圆 $C$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 + \cos a \\ y = \sin a \end{matrix} (a 为参数）$ ，试判断直线 $l$ 与圆 $C$ 的位置关系.

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